如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,點P在線段AB上運動，設AP=，現(xiàn)將紙片折疊，使點D與點P重合，得折痕EF（點E、F為折痕與矩形邊的交點），再將紙片還原.

（1）當時，折痕EF的長為            ；

當點E與點A重合時，折痕EF的長為             ；

（2）試探索使四邊形EPFD為菱形時的取值范圍，請簡要說明探索過程。

并求當時,菱形EPFD的邊長.

解：（1）3，   …………… 2分  

（2）∵要使四邊形EPFD為菱形，∴DE=EP=FP=DF，
只有點E與點A重合時，EF最長為，此時x=1，
當EF最短時，點D與點B重合，點P與點B重合.此時x=3，
∴探索出1≤x≤3

當時，如圖，連接DE、PF.∵EF是折痕, ∴DE=PF,設PE=，則AE=

∵在⊿ADE中，∠DAE=90°, ∴AD2+AE2=DE2,即

解得，此時菱形EPFD的邊長為 

 


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2
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