Question

如圖1，Rt△ABC兩直角邊的邊長為AC=1，BC=2．
（1）如圖2，⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點X，與邊CB相切于點Y．請你在圖2中作出并標明⊙O的圓心（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）P是這個Rt△ABC上和其內(nèi)部的動點，以P為圓心的⊙P與Rt△ABC的兩條邊相切．設(shè)⊙P的面積為S，你認為能否確定S的最大值？若能，請你求出S的最大值；若不能，請你說明不能確定S的最大值的理由．

Answer 1

分析：（1）作出∠B的角平分線BD，再過X作OX⊥AB，交BD于點O，則O點即為⊙O的圓心；
（2）由于⊙P與△ABC哪兩條邊相切不能確定，故應(yīng)分⊙P與Rt△ABC的邊AB和BC相切；⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時；⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時三種情況進行討論．

解答：解：（1）如圖所示：
①以B為圓心，以任意長為半徑畫圓，分別交BC、AB于點G、H；
②分別以G、H為圓心，以大于

1

2

GH為半徑畫圓，兩圓相交于D，連接BD；
③過X作OX⊥AB，交直線BD于點O，則點O即為⊙O的圓心．

（2）①當⊙P與Rt△ABC的邊AB和BC相切時，由角平分線的性質(zhì)可知，動點P是∠ABC的平分線BM上的點，如圖1，在∠ABC的平分線BM上任意確定點P₁（不為∠ABC的頂點）
∵OX=BOsin∠ABM，P₁Z=BPsin∠ABM，當BP₁＞BO時，P₁Z＞OX即P與B的距離越大，⊙P的面積越大，這時，BM與AC的交點P是符合題意的、BP長度最大的點；
如圖2，∵∠BPA＞90°，過點P作PE⊥AB，垂足為E，則E在邊AB上，
∴以P為圓心、PC為半徑作圓，則⊙P與CB相切于C，與邊AB相切于E，即這時⊙P是符合題意的圓，這時⊙P的面積就是S的最大值，
∵AC=1，BC=2，∴AB=

5

，
設(shè)PC=x，則PA=AC-PC=1-x
在直角△APE中，PA²=PE²+AE²，
∴（1-x）²=x²+（

5

-2）²，
∴x=2

5

-4；
②如圖3，同理可得：當⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時，設(shè)PC=y，則（2-y）²=y²+（

5

-1）²，
∴y=

5 -1

2

；
③如圖4，同理可得，當⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時，設(shè)PF=z，
∵△APF∽△PBE，∴PF：BE=AF：PE，
∴

z

2-z

=

1-z

z

，
∴z=

2

3

．
由①、②、③可知，

2

3

＞

5 -1

2

＞2

5

-4，
∴z＞y＞x，
∴⊙P的面積S的最大值為

4

9

π．

點評：本題考查的是切線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再利用數(shù)形結(jié)合及切線的性質(zhì)進行解答．