Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別為（-3，0），（1，0）、（0，4），頂點(diǎn)C在第一象限，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）連接OC，若點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P，O，D為頂點(diǎn)的三角形面積與△OBC的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖2，將?ABCD從圖1的位置開始沿x軸向右平移，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象與折線C-D-A相交于點(diǎn)E，與BC邊相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作x軸的平行線，交AD邊于點(diǎn)G，在?ABCD沿x軸向右平移的過程中，探究下列問題：
①當(dāng)四邊形ABFG為菱形時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
②線段BE，F(xiàn)G能否相等？若能，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）先求出△OBC的面積，根據(jù)△POD與△OBC的面積相等，先求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式即可求出縱坐標(biāo)；
（3）①作CM⊥x軸于M，F(xiàn)N⊥x軸于N，作HK⊥x軸于K，求出KN的長(zhǎng)度即可確定?ABCD向右平移的距離，得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
②當(dāng)BE=FG=4時(shí)，A與原點(diǎn)O重合．

解答： 解：∵A（-3，0），B（1，0）、D（0，4），四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB=4，BC=AD=

32+42

=5，
∴C（4，4），
把點(diǎn)C（4，4）代入y=

k

x

，
得：k=16，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

16

x

；
（2）設(shè)點(diǎn)P（a，b），
∵OB=1，OD=4，
∴S_△OBC=

1

2

，1×4=2，S_△POD=

1

2

×4×a=2，
∴a=1，
∵ab=16，
∴b=16，
∴P（1，16）；
（3）①如圖所示：
當(dāng)四邊形ABFG為菱形時(shí)，BF=AB=FG=4，點(diǎn)E坐標(biāo)為（4，4），
作CM⊥x軸于M，F(xiàn)N⊥x軸于N，作HK⊥x軸于K，則CM∥FN，
∴

FN

CM

=

BF

BC

，即

FN

4

=

4

5

，
∴FN-

16

5

，
∵點(diǎn)F在函數(shù)y=

16

x

的圖象上，
∴ON=5，
∴F（5，

16

5

），
∴HK=

16

5

，
∵HB₁=FB=4，KB₁=

42-( 16 5 )2

=

12

5

，
∴KN=5-1-

12

5

=

8

5

，即?ABCD向右平移了

8

5

個(gè)單位長(zhǎng)度，3-

8

5

=

7

5

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-

7

5

，0）；
②線段BE，F(xiàn)G能相等；
根據(jù)題意得：當(dāng)BE=FG=4時(shí)，BE⊥x軸，
∵E（4，4），
∴A與原點(diǎn)O重合，坐標(biāo)為（0，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)、平行四邊形、三角形面積的計(jì)算方法、勾股定理以及圖形平移等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行推理探究和計(jì)算的能力．