Question

如圖，⊙C經(jīng)過原點且與兩坐標軸分別交于點A（0，2）和點B，D為⊙C在第一象限內的一點，且∠ODB=60°，求⊙C的半徑、線段AB的長、B點坐標及圓心C的坐標．

Answer 1

分析：連接AB；由圓周角定理可知，AB必為⊙C的直徑；Rt△ABO中，易知OA的長，而∠OAB=∠ODB=60°，通過解直角三角形，即可求得斜邊AB的長，也就求得了⊙C的半徑；在Rt△ABO中，由勾股定理即可求得OB的長，進而可得到B點的坐標；過C分別作弦OA、OB的垂線，設垂足為E、F；根據(jù)垂徑定理即可求出OE、OF的長，也就得到了圓心C的坐標．

解答：解：如圖，連接AB．
∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60°，
∴∠OAB=60°，
∵∠AOB是直角，
∴AB是⊙C的直徑，∠OBA=30°；
∴AB=2OA=4；
∴⊙C的半徑為2；
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB²+OA²=AB²，
∴OB=2

3

，
∴B的坐標為：（2

3

，0）；
過C點作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
由垂徑定理得：OE=AE=1，OF=BF=

3

，
∴CE=

3

，CF=1，
∴C的坐標為（

3

，1）．
故⊙C的半徑為2，線段AB的長，為4，B點坐標為（2

3

，0），圓心C的坐標為（

3

，1）．

點評：此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、點的坐標意義、勾股定理等知識的綜合應用能力，綜合性較強，難度適中．