Question

已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（21，0），C（0，6），動點(diǎn)D在線段AO上從點(diǎn)A以每秒2個單位向點(diǎn)O運(yùn)動，動點(diǎn)P在線段BC上從點(diǎn)C以每秒1個單位向點(diǎn)B運(yùn)動．若點(diǎn)D點(diǎn)P同時運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)線段另一個端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（1分）；

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動了t秒，用含t的代數(shù)式表示△ODP的面積S（3分）；

（3）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動某一點(diǎn)時，是否存在使△ODP為直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在說明理由（8分）.

 

Answer 1

【答案】

（1）（21，6）；（2）（）；（3）（0，6）或（7，6）或（3，6）或（4，6）.

【解析】

試題分析：（1）由A（21，0），C（0，6），根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）由AD=2t得OD=，從而由三角形面積公式即可得，根據(jù)點(diǎn)D點(diǎn)P同時運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)線段另一個端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止，可得t的取值范圍；（3）分∠POD=90°，∠PDO=90°，∠OPD=90°三種情況討論即可.

試題解析：（1）∵四邊形OABC是矩形，A（21，0），C（0，6），∴B的坐標(biāo)為（21，6）.

（2）∵根據(jù)題意，得AD=2t，OD=，

∴.

∵點(diǎn)D點(diǎn)P同時運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)線段另一個端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止，

∴由，得.

∴t的取值范圍為.

∴（）.

（3）存在. 如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，

∵OC=PE=6，CP=OE=t，AD=2t，OD=，ED=，

∴根據(jù)勾股定理，得.

若△ODP為直角三角形，分三種情況：

①∠POD=90°，則點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，此時，P（0，6）.

②∠PDO=90°，則點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，有OE=OD，即t=，解得t=7，此時，P（7，6）.

③∠OPD=90°，則，即，即，

解得t=3或t=4，此時，P（3，6）或（4，6）.

綜上所述，若△ODP為直角三角形，則P（0，6）或（7，6）或（3，6）或（4，6）.

考點(diǎn)：1.雙動點(diǎn)問題；2. 矩形的性質(zhì)；3.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式；4.直角三角形的性質(zhì)；5.勾股定理；6.分類思想的應(yīng)用.