已知:二次函數(shù)y=x2+(n-2m)x+m2-mn.
(1)求證:此二次函數(shù)與x軸有交點(diǎn);
(2)若m-1=0,求證方程x2+(n-2m)x+m2-mn=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根為1;
(3)在(2)的條件下,設(shè)方程x2+(n-2m)x+m2-mn=0的另一根為a,當(dāng)x=2時(shí),關(guān)于n 的函數(shù)y1=nx+am與y2=x2+(n-2m)ax+m2-mn的圖象交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),平行于y軸的直線L與y1=nx+am、y2=x2+(n-2m)ax+m2-mn的圖象分別交于點(diǎn)C、D,若
CD=6,求點(diǎn)C、D的坐標(biāo).
【答案】分析:(1)首先令y=0,則有x2+(n-2m)x+m2-mn=0,再根據(jù)判別式判斷此方程根的情況,即可證得此二次函數(shù)與x軸有交點(diǎn);
(2)由m-1=0,即可求得m的值,將m的值代入原方程求解,可求得一根為1,或?qū)=1代入方程,可得方程左右兩邊相等,則可證得方程x2+(n-2m)x+m2-mn=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根為1;
(3)由方程x2+(n-2m)x+m2-mn=0的根是:x1=1,x2=1-n,可得a=1-n,又由當(dāng)x=2時(shí),y1=n+1,y2=-2n2+5n+1,設(shè)點(diǎn)C(b,b+1),又由CD=6,即可求得b的值,則問(wèn)題得解.
解答:解:(1)證明:令y=0,則有x2+(n-2m)x+m2-mn=0,
∵△=(n-2m)2-4(m2-mn)=n2,
∵n2≥0,
∴△≥0,
∴二次函數(shù)y=x2+(n-2m)x+m2-mn與x軸有交點(diǎn);
(2)解:解法一:由m-1=0,得m=1,
∴方程x2+(n-2m)x+m2-mn=0可化為x2+(n-2)x+1-n=0,
解得:x=1或x=1-n,
∴方程x2+(n-2m)x+m2-mn=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根為1;
解法二:由m-1=0得m=1,
∴方程x2+(n-2m)x+m2-mn=0可化為x2+(n-2)x+1-n=0,
當(dāng)x=1時(shí),方程左邊=1+(n-2)+1-n=0,方程右邊=0,
∴左邊=右邊,
∴方程x2+(n-2m)x+m2-mn=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根為1;
(3)解:方程x2+(n-2m)x+m2-mn=0的根是:x1=1,x2=1-n,
∴a=1-n,
當(dāng)x=2時(shí),y1=n+1,y2=-2n2+5n+1,
設(shè)點(diǎn)C(b,b+1),
則點(diǎn)D(b,-2b2+5b+1),
∵CD=6,
∴b+1-(-2b2+5b+1)=6或-2b2+5b+1-(b+1)=6,
∴b=3或b=-1,
∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C(3,4),D(3,-2)或C(-1,0),D(-1,-6).
點(diǎn)評(píng):此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,判別式以及兩點(diǎn)間的距離等知識(shí).此題綜合性較強(qiáng),解題的關(guān)鍵是注意方程思想的應(yīng)用.