Question

已知二次函數(shù)y=x²-mx-

3

4

m²，其中m≠0．
（1）試說明該函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)該函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)為A，B．且它的頂點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，求m的值；
（3）設(shè)該函數(shù)圖象與y軸兩交點(diǎn)為A，B．若以AB為直徑的圓與y軸交于點(diǎn)C，D，求弦CD的長(zhǎng)（用m表示）．

Answer 1

分析：（1）依題意可得△=4m²得出△＞0，可得出二次函數(shù)圖象與x軸總有公共點(diǎn)；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出AB的長(zhǎng)以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出m的值；
（3）利用垂徑定理以及勾股定理求出CD的長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）△=（-m）²-4×1×（-

3

4

m²）=4m²，
∵m≠0，∴4m²＞0，
∴△＞0．
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，該函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）y=x²-mx-

3

4

m²，
設(shè)AB點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁+x₂=-

b

a

=m，x₁•x₂=

c

a

=-

3

4

m²，
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+3m2

=2m，
-

b

2a

=

m

2

，

4ac-b2

4a

=-m²，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

m

2

，-m²），
∵拋物線的頂點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，
∴AB=2m，
即2m=2m²，
解得m=1或0（不合題意舍去），
∴m=1；

（3）由（2）得：圓的半徑為m，
弦CD的弦心距為

m

2

，
∴

1

2

CD=

m2-( m 2 )2

=

3

2

m，
∴CD=

3

m．

點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，同時(shí)考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，理解題意；特別是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．