Question

【題目】如圖，⊙O是銳角△ABC的外接圓，FH是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為F，FH∥BC，連結(jié)AF交BC于E，∠ABC的平分線(xiàn)BD交AF于D，連結(jié)BF．下列結(jié)論：①AF平分∠BAC；②點(diǎn)F為△BDC的外心；③；④若點(diǎn)M，N分別是AB和AF上的動(dòng)點(diǎn)，則BN+MN的最小值是ABsin∠BAC．其中一定正確的是_____（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

如圖1，連接OF，CF，通過(guò)切線(xiàn)的性質(zhì)證OF⊥FH，進(jìn)而由FH∥BC，得OF⊥BC，即可由垂徑定理得到F是弧BC的中點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理可得∠BAF＝∠CAF，可得AF平分∠BAC；由三角形外角性質(zhì)和同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠BDF＝∠FBD，可得BF＝DF＝CF，可得點(diǎn)F為△BDC的外心；如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，交AF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，通過(guò)證明△BAE∽△CGE，可得，即可判斷③；如圖3，作點(diǎn)M關(guān)于AF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段BM'上，且BM'⊥AC時(shí)，BN+MN有最小值為BM'，即可判斷④．

解：如圖1，連接OF，CF，

∵FH是⊙O的切線(xiàn)，

∴OF⊥FH，

∵FH∥BC，

∴OF⊥BC，且OF為半徑，

∴OF垂直平分BC，

∴＝，

∴∠1＝∠2，BF＝CF，

∴AF平分∠BAC，故①正確，

∵∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2，

∴∠1+∠4＝∠2+∠3，

∴∠1+∠4＝∠5+∠3，

∵∠1+∠4＝∠BDF，∠5+∠3＝∠FBD，

∴∠BDF＝∠FBD，

∴BF＝FD，且BF＝CF，

∴BF＝DF＝CF，

∴點(diǎn)F為△BDC的外心，故②正確；

如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，交AF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，

∵CG∥AB，

∴∠BAE＝∠EGC，且∠BAE＝∠CAE，

∴∠CAE＝∠CGE，

∴AC＝CG，

∵CG∥AB，

∴△BAE∽△CGE，

∴，

∴＝＝，

故③正確；

如圖3，作點(diǎn)M關(guān)于AF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，

∵點(diǎn)M與點(diǎn)M'關(guān)于AF對(duì)稱(chēng)，

∴MN＝M'N，

∴BN+MN＝BN+M'N，

∴當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段BM'上，且BM'⊥AC時(shí)，BN+MN有最小值為BM'，且sin∠BAC＝，

∴BN+MN最小值為ABsin∠BAC，

故④正確，

故答案為：①②③④．