Question

如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合）．將△BCE沿CE對(duì)折至△FCE．延長(zhǎng)EF交邊AD于點(diǎn)G．
（1）連接AF，若AF∥CF，求證：點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)；
（2）求證：GF=GD；
（3）若DA=12，設(shè)EB=x，DG=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

（1）證明：由對(duì)折性質(zhì)得：EB=EF，∠CEB=∠CEF，
∵AF∥CE．
∴∠CEB=∠EAF，∠CEF=∠EFA，
∴∠EAF=∠EFA，
∴EF=EA，
∴EB=EA，
∴點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)；
（2）證明：連接CG，正方形ABCD中，CD=BC，∠D=∠B=90°，
∵CF=CB，∠CFE=∠B=90°，
∴CF=CD，
∵CG=CG，
∴Rt△CDG≌Rt△CFG，
∴GF=GD；
（3）解：∵BE=x，則AE=AB-BE=12-x，
∵GF=GD，則AG=AD-DG=12-y，
在Rt△AEG中，AE²+AG²=EG²，
∴（12-x）²+（12-y）²=（x+y）²，
故y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=．
分析：（1）利用對(duì)折性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)可證明∠EAF=∠EFA，進(jìn)而證明EF=EA，又因?yàn)镋B=EF，所以EA=EB，即E為AB中點(diǎn)；
（2）連接CG，利用“HL”證明Rt△CDG≌Rt△CFG即可；
（3）因?yàn)锽E=x，則AE=AB-BE=12-x，又因?yàn)镚F=GD，則AG=AD-DG=12-y，在直角三角形AEG中，利用勾股定理可得：AE²+AG²=EG²，把已知數(shù)據(jù)代入化簡(jiǎn)即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)以及直角三角形的全等判定方法和勾股定理的運(yùn)用，題目的難度不大，但綜合性不�。�