Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過點A作AE⊥CD，交CD的延長線于點E，DA平分∠BDE．

（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）已知AE=8cm，CD=12cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OA．

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD．

∵DA平分∠BDE，

∴∠ODA=∠EDA．

∴∠OAD=∠EDA，

∴EC∥OA．

∵AE⊥CD，

∴OA⊥AE．

∵點A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切線

（2）解：過點O作OF⊥CD，垂足為點F．

∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，

∴四邊形AOFE是矩形．

∴OF=AE=8cm．

又∵OF⊥CD，

∴DF= CD=6cm．

在Rt△ODF中，OD= =10cm，

即⊙O的半徑為10cm．

【解析】（1）根據(jù)等邊對等角得出∠ODA=∠OAD，進而得出∠OAD=∠EDA，證得EC∥OA，從而證得AE⊥OA，即可證得AE是⊙ O的切線；
（2）過點O作OF⊥CD，垂足為點F．從而證得四邊形AOFE是矩形，得出OF=AE=8cm，根據(jù)垂徑定理得出DF=6cm，在Rt△ODF中，根據(jù)勾股定理即可求得⊙ O的半徑．