Question

△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，過(guò)P作△ABC三邊的平行線MN∥BC，IJ∥CA，EF∥AB，其中F，J在BC邊上，E，N在CA邊上，I，M在AB邊上．并且三個(gè)平行四邊形AEPI，BFPM，CNPJ的面積分別為S₁，S₂，S₃，那么△ABC的面積為

 

（用S₁，S₂，S₃的式子表示）

Answer 1

分析：利用△ABC∽△AMN∽△IBJ∽△EFC∽△OFJ∽△EPN∽△IMP，及其相似比，求得S_{△ABC、}S_△AMN，令S_△PFJ=a²，S_△EPN=b²，S_△DCP=c²，a，b，c＞0，則S_△AMN=（b+c）²，S_△IBJ=（c+a）²，S_△EFC=（a+b）²，分別求出（用S₁，S₂，S₃的式子表示）a、b、c，然后即可解題．

解答：解：
∵△ABC∽△AMN∽△IBJ∽△EFC∽△OFJ∽△EPN∽△IMP，
∴相似比為BC：MN：BJ：FC：FJ：PN：MP．
∵BC=FJ+PN+MP，MN=MP+PN，BJ=BF+FJ，F(xiàn)C=FJ+PN，
∴S_△ABC=S=(

S△PFJ

+

S△DCP

+ 

S△EPN

)  2．
S_△AMN=(

S△DCP

+

S△EPN

) 2，
令S_△PFJ=a²，S_△EPN=b²，S_△DCP=c²，a，b，c＞0，
則S_△AMN=（b+c）²，S_△IBJ=（c+a）²，S_△EFC=（a+b）²
S_?AEPI=S₁=2bc，S_?BFPM=S₂=2ca，
由S_?CNPJ=S₃=2ab可推出

S1S2S3

=2

2

abc，
a=

S2S3 2S1

，b=

S3S1 2S2

，c=

S1S2 2S3

推出S=（a+b+c）²
=(

S2S3 2S1

+

S3S1 2S2

+

S1S2 2S3

)  2
=

(S2S3+S3S1+S1S2)    2

2S1S2S3

．
故填：

(S2S3+S3S1+S1S2)    2

2S1S2S3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的理解和掌握，此外還涉及到了三角形面積，平行四邊形面積，步驟繁瑣，稍有疏忽，導(dǎo)致整個(gè)題錯(cuò)誤，因此屬于難題．