Question

如圖1，以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)F在對角線AC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A、C重合），過點(diǎn)F分別作x軸、y軸的垂線，垂足為G、E．設(shè)四邊形BCFE的面積為S₁，四邊形CDGF的面積為S₂，△AFG的面積為S₃．
（1）試判斷S₁，S₂的關(guān)系，并加以證明；
（2）當(dāng)S₃：S₂=1：3時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，把△AEF沿對角線AC所在直線平移，得到△A′E′F′，且A′，F(xiàn)′兩點(diǎn)始終在直線AC上，是否存在這樣的點(diǎn)E′，使點(diǎn)E′到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離比是5：4？若存在，請求出點(diǎn)E′的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）兩者應(yīng)該相等，由于四邊形ADCB是矩形，那么對角線平分矩形的面積，同理OF也平分矩形AEFG的面積，由此就不難得出S₁=S₂了；
（2）S₃：S₂=S₃：S₁=1：3，也就能得出S_△AGF：S_△ADC=1：4，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得出OF：OC=1：2，即F為OC中點(diǎn)．由此可根據(jù)C、D的坐標(biāo)直接求出F的坐標(biāo)；
（3）由于A′F′始終在OC上，因此EE′所在的直線必平行于OC，可先求出直線EE′的解析式，然后根據(jù)E′橫、縱坐標(biāo)的比例關(guān)系來設(shè)出E′的坐標(biāo)，代入直線EE′中即可求出E′的坐標(biāo)．

解答：解：（1）S₁=S₂；
證明：∵FE⊥y軸，F(xiàn)G⊥x軸，∠BAD=90°，
∴四邊形AEFG是矩形．
∴AE=GF，EF=AG．
∴S_△AEF=S_△AFG，
同理S_△ABC=S_△ACD．
∴S_△ABC-S_△AEF=S_△ACD-S_△AFG．
即S₁=S₂．

（2）∵FG∥CD，
∴△AFG∽△ACD．
∴

S3

S3+S2

=(

FG

CD

)2=(

AG

AD

)2=

1

1+3

=

1

4

．
∴FG=

1

2

CD，AG=

1

2

AD．
∵CD=BA=6，AD=BC=8，
∴FG=3，AG=4．
∴F（4，3）；

（3）∵△A′E′F′是由△AEF沿直線AC平移得到的，且A′、F′兩點(diǎn)始終在直線AC上，
∴點(diǎn)E′在過點(diǎn)E（0，3）且與直線AC平行的直線l上移動(dòng)．
∵直線AC的解析式是y=

3

4

x，
∴直線L的解析式是y=

3

4

x+3．
設(shè)點(diǎn)E′為（x，y），
∵點(diǎn)E′到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離比是5：4，
∴|y|：|x|=5：4．
①當(dāng)x、y為同號時(shí)，得

y= 5 4 x y= 3 4 x+3

解得

x=6 y=7.5

，
∴E′（6，

15

2

）；
②當(dāng)x、y為異號時(shí)，得

y=- 5 4 x y= 3 4 x+3

解得

x=- 3 2 y= 15 8

，
∴E′（-

3

2

，

15

8

）．
∴存在滿足條件的E′坐標(biāo)分別是（6，

15

2

）、（-

3

2

，

15

8

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、圖形面積的求法、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)．要注意的是（3）題在不確定E′橫、縱坐標(biāo)的符號時(shí)，要分類討論，不要漏解．