Question

（8分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，PO的延長(zhǎng)線交BC于Q．

（1）求證：OP=OQ；

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點(diǎn)A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運(yùn)動(dòng)（不與D重合）．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)用t表示PD的長(zhǎng)；并求t為何值時(shí)，四邊形PBQD是菱形．

Answer 1

（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）PD=8-t ；t=s．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根據(jù)O為BD的中點(diǎn)得出△POD≌△QOB，即可證得OP=OQ；

（2）根據(jù)已知條件得出∠A的度數(shù)，再根據(jù)AD=8cm，AB=6cm，得出BD和OD的長(zhǎng)，再根據(jù)四邊形PBQD是菱形時(shí)，利用勾股定理即可求出t的值，判斷出四邊形PBQD是菱形．

試題解析：（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

所以AD∥BC，

所以∠PDO=∠QBO，

又因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，

所以O(shè)B=OD，

在△POD與△QOB中，

∠PDO=∠QBO，OB=OD，∠POD=∠QOB，

所以△POD≌△QOB，

所以O(shè)P=OQ．

（2）【解析】
PD=8-t，

因?yàn)樗倪呅蜳BQD是菱形，

所以PD=BP=8-t，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

所以∠A=90°，

在Rt△ABP中，

由勾股定理得： ，

即 ，

解得：t= ，

即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形PBQD是菱形．

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；全等三角形的判斷和性質(zhì)勾股定理．