【題目】(問題背景)如圖1所示,在中,,,點D為直線上的個動點(不與B、C重合),連結(jié),將線段繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,使點A旋轉(zhuǎn)到點E,連結(jié).

(問題初探)如果點D在線段上運動,通過觀察、交流,小明形成了以下的解題思路:過點E交直線F,如圖2所示,通過證明______,可推證_____三角形,從而求得______°.

(繼續(xù)探究)如果點D在線段的延長線上運動,如圖3所示,求出的度數(shù).

(拓展延伸)連接,當點D在直線上運動時,若,請直接寫出的最小值.

1 2 3

【答案】1)△ADB,等腰直角,135°;(245°;(3.

【解析】

1)問題初探:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ADE=90°,AD=DE,則∠ADB+EDF=ADB+DAB=90°,得到∠DAB=EDF,則根據(jù)AAS得到△DEF≌△ADB;則EF=BD,DF=AB,則AB=AC=DF,得到BD=CF=EF,則△CEF是等腰直角三角形;從而得到∠DCE=135°;

2)繼續(xù)探究:過點EEGCD,與(1)同理,可證△ABD≌△DGE,得到BD=GE,AB=DG=BC,則BD=CG=GE,即可得到;

3)拓展延伸:當點D在直線BC上運動時,當BECE時,BE的長度是最小值,由(2)可知,則△BCE為等腰直角三角形,則.

解:(1)問題初探:如圖,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得:∠ADE=90°,AD=DE,

∴∠ADB+EDF=90°,

∵∠ABC=90°,

∴∠ADB+DAB=90°,

∴∠DAB=EDF,

EFBC,

∴∠ABC=DFE=90°,

∴△ADB≌△DEFAAS);

BD=EF,AB=DF

AB=DF=BC,

BD+DC=DC+CF

BD=CF=EF,

∴△CEF是等腰直角三角形;

∴∠CEF=45°,

∴∠DCE=CEF+CFE=45°+90°=135°;

故答案為:△ADB,等腰直角,135°;

2)繼續(xù)探究:如圖,過點EEGCD

∵∠ADE=ADB+GDE=90°,∠ADB+DAB=90°,

∴∠GDE=DAB,

∵∠ABD=DGE=90°,AD=DE,

∴△ABD≌△DGEAAS),

BD=GE,AB=DG=BC

BD+BG=BG+GC,

CG=BD=GE

∴△CEG是等腰直角三角形,

∴∠DCE=45°;

3)拓展延伸:如圖,當點D在直線BC上運動時,當BECE時,BE的長度是最小值;

則∠BEC=90°.

由(2)可知,∠DCE=45°,

∴△BCE是等腰直角三角形,

BE=CE,

;

BE的最小值為.

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