【題目】如圖1,矩形ABCD中,PAB邊上的一點(不與A,B重合),PE平分∠APC交射線ADE,過EEMPE交直線CPM,交直線CDN

1)求證:CM=CN

2)若ABBC=43,

①當=   時,E恰好是AD的中點;

②如圖2,當△PEM與△PBC相似時,求的值.

【答案】(1)證明見解析;(2)①;②

【解析】試題分析:(1)由矩形的性質(zhì)得出A=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,由平行線的性質(zhì)、互余兩角關系、對頂角相等以及角平分線證出CMN=∠N,即可得出結論;

2由題意得出M、N、C三點重合,由ASA證明APE≌△DFE,得出AP=DF,PE=FE,由線段垂直平分線的性質(zhì)證出AP+CD=PC,設AD=3,AB=4,過PPFCDF,設AP=DE=x,則PB=CF=4﹣x,PC=4+x,PF=3,由勾股定理得出方程,解方程即可;

分兩種情況:1.若PEM∽△CCBP,則EPM=∠BCP,得出PEBC,不成立;

 2PEM∽△PBC,則APB=EPM=BPC=60°,設AB=4aBC=AD=3a,則PB= a,AP=a,AE=a,設PECD交于點F,證出PEM∽△FEN,由相似三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理得出,即可得出結果.

試題解析:解:1)延長PECD的延長線于F,如圖1所示:

四邊形ABCD是矩形,ABCD,A=∠ADC=∠EDF═90°,AB=CD,AD=BC,∴∠APE+∠AEP=90°,∴∠F=∠APEEMEN,∴∠PEN=∠FEN=90°∴∠CPE+∠PME=90°,F+∠N=90°PE平分APC,∴∠APE=∠MPE,又∵∠PME=∠CMN,∴∠CMN=∠N,CM=CN

2EAD的中點,則MN、C三點重合,EAD的中點,AE=DE,在APEDFE中,∵∠A=∠EDF,AE=DE,AEP=∠DEF,∴△APE≌△DFEASA),AP=DF,PE=FEEMEN,PC=FC,FC=CD+DFAP+CD=PC,設AD=3a,AB=4a,過PPFCDF,如圖2所示:

AP=DE=x,則PB=CF=4x,PC=4+x,PF=3,由勾股定理得:(4x2+32=4+x2,解得:x=a4x=a,=;

分兩種情況:

 1PEM∽△CCBP,則EPM=∠BCP,PEBC,不成立;

 2PEM∽△PBC,則APE=EPM=BPC=60°,設AB=4a,BC=AD=3a,則PB=a,AP=aAE=a,設PECD交于點F,如圖3所示:

ABCD∴∠EFN=BFC=APE=60°,∴∠N=M=90°60°=30°,EMPE,∴∠NEF=PEM=90°,∴△PEM∽△FEN, ,ABCD,==

練習冊系列答案
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A. (50-x)(80-x)=5400 B. (50-2x)(80-2x)=5400

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其中正確的是(  。

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