Question

在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D，連結CD．
（1）如圖1，若點D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r；
（2）如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC=20°，請求出∠DCA的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）如圖1，過點O作OE⊥AC于E
則AE=AC=×2=1，
∵翻折后點D與圓心O重合，
∴OE=r，
在Rt△AOE中，AO²=AE²+OE²，
即r²=1²+（r）²，解得r=；

（2）如圖2，連結BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-20°=70°，
根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對的圓周角等于所對的圓周角
∴∠DCA=∠B-∠A=70°-20°=50°．
分析：（1）過點O作OE⊥AC于E，由垂徑定理可知AE=AC=×2=1，根據(jù)翻折后點D與圓心O重合，可知OE=r，在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理可得出r的值；
（2）連結BC，由于AB是直徑，所以∠ACB=90°，再根據(jù)∠BAC=20°，可得出∠B的度數(shù)，根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對的圓周角等于所對的圓周角，故可得出結論．
點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．