Question

如圖，拋物線 的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標(biāo)為（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；

（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標(biāo)．

 

Answer 1

考點：    二次函數(shù)綜合題。

專題：    轉(zhuǎn)化思想。

分析：    （1）該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將B點坐標(biāo)代入解析式中即可．

（2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標(biāo)，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)．

（3）△MBC的面積可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M．

解答：    解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：

0=16a﹣×4﹣2，即：a=；

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．

（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4，

即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；

所以該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標(biāo)為：（，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為：y=x﹣2；

設(shè)直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當(dāng)直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：

x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；

∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=4；

∴直線l：y=x﹣4．

由于S△MBC=BC×h，當(dāng)h最大（即點M到直線BC的距離最遠(yuǎn)）時，△ABC的面積最大

所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有：

 ，

解得：

即 M（2，﹣3）．