Question

關于x的二次函數y=-x²+（k²-4）x+2k-2以y軸為對稱軸，且與y軸的交點在x軸上方．
（1）求此拋物線的解析式，并在下面建立直角坐標系畫出函數的草圖；
（2）設A是y軸右側拋物線上的一個動點，過點A作AB垂直于x軸于點B，再過點A作x軸的平行線交拋物線于點D，過點D作DC垂直于x軸于點C，得到矩形ABCD．設矩形ABCD的周長為l，點A的橫坐標為x，試求l關于x的函數關系式；
（3）當點A在y軸右側的拋物線上運動時，矩形ABCD能否成為正方形？若能，請求出此時正方形的周長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為二次函數y=-x²+（k²-4）x+2k-2以y軸為對稱軸，所以k²-4=0，即可解出k的值，求出拋物線解析式，并利用描點法畫出圖象；
（2）求出拋物線與x軸的交點坐標，分矩形在x軸上方和矩形在x軸下方兩種情況，根據矩形周長公式解答；
（3）假設能構成正方形，根據正方形邊長相等，列等式解出x的值，若x＞0，則能構成正方形，若x＜0，則不能構成正方形．
解答：解：
（1）據題意得：k²-4=0，
∴k=±2．
當k=2時，2k-2=2＞0．
當k=-2時，2k-2=-6＜0（2分）
又∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴k=2．
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2．（1分）

（2）解：令-x²+2=0，得x=±．
當0＜x＜時，A₁D₁=2x，A₁B₁=-x²+2，
∴l(xiāng)=2（A₁B₁+A₁D₁）=-2x²+4x+4（2分）
當x＞時，A₂D₂=2x．
A₂B₂=-（-x²+2）=x²-2．
∴l(xiāng)=2（A₂D₂+A₂B₂）=2x²+4x-4（2分）

（3）當0＜x＜時，令A₁B₁=A₁D₁，得x²+2x-2=0．
解得x=-1-（舍去），或x=-1+．
將x=-1+代入l=-2x²+4x+4，
得l=8-8（3分）
當x＞時，令A₂B₂=A₂D₂得：x²-2x-2=0，
解得x=1-（舍去），或x=1+．
代入l=2x²+4x-4，得L=8+8（3分）
綜上，矩形ABCD能成為正方形，
且當x=-1時正方形的周長是8-8，
當x=+1時，周長為8+8（1分）．
點評：解答此題的關鍵是求出二次函數的解析式，利用解析式求出各點的坐標表達式，根據矩形或正方形的性質來解答．值得關注，（3）為探索性問題，有一定的開放性．