Question

如圖，甲、乙兩人分別從A（1，）、B（6，0）兩點同時出發(fā)，點O為坐標原點，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達M點，乙到達N點．
（1）請說明甲、乙兩人到達O點前，MN與AB不可能平行．
（2）當t為何值時，△OMN∽△OBA？
（3）甲、乙兩人之間的距離為MN的長，設s=MN²，求s與t之間的函數(shù)關系式，并求甲、乙兩人之間距離的最小值．

Answer 1

證明：（1）因為A坐標為（1，），
所以OA=2，∠AOB=60°．
因為OM=2-4t，ON=6-4t，
當=時，解得t=0，
即在甲、乙兩人到達O點前，只有當t=0時，△OMN∽△OAB，所以MN與AB不可能平行；

（2）因為甲達到O點時間為t=，乙達到O點的時間為t==，所以甲先到達O點，所以t=或t=時，O、M、N三點不能連接成三角形，
①當t≤時，如果△OMN∽△OBA，則有=，解得t=2＞，所以，△OMN不可能相似△OBA；
②當＜t≤時，∠MON＞∠AOB，顯然△OMN不相似△OBA；
③當t＞時，=，解得t=2＞，所以當t=2時，△OMN∽△OBA；

（3）①當t≤時，如圖1，過點M作MH⊥x軸，垂足為H，
在Rt△MOH中，因為∠AOB=60°，
所以MH=OMsin60°=（2-4t）×=（1-2t），
OH=0Mcos60°=（2-4t）×=1-2t，
所以NH=（6-4t）-（1-2t）=5-2t，
所以s=[（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28
②當＜t≤時，如圖2，作MH⊥x軸，垂足為H，
在Rt△MOH中，MH=（4t-2）=（2t-1），NH=（4t-2）+（6-4t）=5-2t，
所以s=[（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28
③當t＞時，同理可得s=[（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28，
綜上所述，s=[（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28．
因為s=16t²-32t+28=16（t-1）²+12，
所以當t=1時，s有最小值為12，所以甲、乙兩人距離最小值為2km．
分析：（1）用反證法說明．根據(jù)已知條件分別表示相關線段的長度，根據(jù)三角形相似得比例式說明；
（2）根據(jù)兩個點到達O點的時間不同分段討論解答；
（3）在不同的時間段運用相似三角形的判定和性質分別求解析式，運用函數(shù)性質解答問題．
點評：此題綜合考查了坐標與圖形、相似三角形的判定與性質、分類討論數(shù)學思想的應用等知識點，難度較大．