Question

如圖，甲、乙兩人分別從A（1，）、B（6，0）兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達(dá)M點(diǎn)，乙到達(dá)N點(diǎn)．
（1）請(qǐng)說明甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前，MN與AB不可能平行．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△OMN∽△OBA？
（3）甲、乙兩人之間的距離為MN的長(zhǎng)，設(shè)s=MN²，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求甲、乙兩人之間距離的最小值．

Answer 1

證明：（1）因?yàn)锳坐標(biāo)為（1，），
所以O(shè)A=2，∠AOB=60°．
因?yàn)镺M=2-4t，ON=6-4t，
當(dāng)=時(shí)，解得t=0，
即在甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前，只有當(dāng)t=0時(shí)，△OMN∽△OAB，所以MN與AB不可能平行；

（2）因?yàn)榧走_(dá)到O點(diǎn)時(shí)間為t=，乙達(dá)到O點(diǎn)的時(shí)間為t==，所以甲先到達(dá)O點(diǎn)，所以t=或t=時(shí)，O、M、N三點(diǎn)不能連接成三角形，
①當(dāng)t≤時(shí)，如果△OMN∽△OBA，則有=，解得t=2＞，所以，△OMN不可能相似△OBA；
②當(dāng)＜t≤時(shí)，∠MON＞∠AOB，顯然△OMN不相似△OBA；
③當(dāng)t＞時(shí)，=，解得t=2＞，所以當(dāng)t=2時(shí)，△OMN∽△OBA；

（3）①當(dāng)t≤時(shí)，如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為H，
在Rt△MOH中，因?yàn)椤螦OB=60°，
所以MH=OMsin60°=（2-4t）×=（1-2t），
OH=0Mcos60°=（2-4t）×=1-2t，
所以NH=（6-4t）-（1-2t）=5-2t，
所以s=[（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28
②當(dāng)＜t≤時(shí)，如圖2，作MH⊥x軸，垂足為H，
在Rt△MOH中，MH=（4t-2）=（2t-1），NH=（4t-2）+（6-4t）=5-2t，
所以s=[（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28
③當(dāng)t＞時(shí)，同理可得s=[（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28，
綜上所述，s=[（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28．
因?yàn)閟=16t²-32t+28=16（t-1）²+12，
所以當(dāng)t=1時(shí)，s有最小值為12，所以甲、乙兩人距離最小值為2km．
分析：（1）用反證法說明．根據(jù)已知條件分別表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形相似得比例式說明；
（2）根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間不同分段討論解答；
（3）在不同的時(shí)間段運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)分別求解析式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解答問題．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了坐標(biāo)與圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，難度較大．