Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB分別與x、y軸交于點(diǎn)A、B，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C，CD⊥x軸于點(diǎn)D，OD=3，點(diǎn)A為OD的中點(diǎn)，tan∠OBD=

3

2

．
（1）求直線AB和該反比例函數(shù)的解析式；
（2）求四邊形OBDC的面積．

Answer 1

分析：（1）先由OD=3，A為OD的中點(diǎn)求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)tan∠OBD=

3

2

得出B點(diǎn)坐標(biāo)．利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式；再由全等三角形的判定定理得出△OAB≌△DAC，故可得出OB=CD，由此可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)S_{四邊形OBDC}=S_△OBD+S_△ODC進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵OD=3，A為OD的中點(diǎn)，
∴A（

3

2

，0），
∵tan∠OBD=

3

2

，
∴

OD

OB

=

3

2

，即

3

OB

=

3

2

，解得OB=2，
∵點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，
∴B（0，-2），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（

3

2

，0），B（0，-2），
∴

b=-2 3 2 k+b=0

，解得

b=-2 k= 4 3

，
故直線AB的解析式為：y=

4

3

x-2；
∵A為OD的中點(diǎn)，
∴OA=AD，
∵CD⊥x軸，
∴∠BOA=∠CDA=90°，
在△OAB與△DAC中，
∵

∠BOA=∠CDA OA=AD ∠OAB=∠CAD

，
∴△OAB≌△DAC，
∴CD=OB=2，
∴C（3，2），
設(shè)該反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，則2=

k

3

，解得k=6，
∴該反比例函數(shù)的解析式為：y=

6

x

；

（2）∵OD=3，CD=OB=2，
∴S_{四邊形OBDC}=S_△OBD+S_△ODC
=

1

2

OD•OB+

1

2

OD•CD
=

1

2

×3×2+

1

2

×3×2
=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，難度適中．