Question

如圖，已知：AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)D、E是直線m上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD、CE．

（1）如圖1，若∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE．求證：DE=BD+CE．
（2）如圖2，若∠BAC=∠BDA=∠AEC，則（1）中的結(jié)論DE=BD+CE還成立嗎？（只回答答案，不用證明）
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，是判定△DEF的形狀，并證明你的判定．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件可以得出∠DAB=∠ACE，就可以得出△ADB≌△CEA就可以得出BD=AE，AD=CE即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可以得出∠DAB=∠ACE，就可以得出△ADB≌△CEA，就可以得出結(jié)論；
（3）由你改變?nèi)�角形的性質(zhì)就可以得出∠BAC=120°，就可以得出△FDB≌△FEA，就可以得出DF=EF，∠DFB=∠EFA而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵BD⊥AD，
∴∠BDA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠DBA=∠CAE；　　　　　　　 
∵CE⊥DE，
∴∠CEA=90°，
∴∠ADB=∠CEA．
在△ADB和△CEA中，

∠DBA=∠CAE ∠ADB=∠CEA AB=AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS）
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=DA+AE，
∴DE=BD+CE；

（2）（1）中的結(jié)論DE=BD+CE仍然成立．　
理由：∵∠DAB+BAC+∠CAE=180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，
∴∠DAB+∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠ACE+∠AEC．
∵∠BAC=∠AEC，
∴∠DAB=∠ACE．
在△ADB和△CEA中

∠DAB=∠ECA ∠ADB=∠CEA AB=AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS）
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=DA+AE，
∴DE=BD+CE；

（3）△DFE是等邊三角形．　　　
理由：∵△ADB≌△CEA，
∴∠DBA=∠EAC，BD=EA．
∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，
∴BF=AB=AF=AC=CF，∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠ABF+∠DBA=∠CAF+∠EAC，
∴∠DBF=∠EAF．
在△FDB和△FEA中，

BF=AF ∠DBF=∠EAF BD=AE

，
∴△FDB≌△FEA（SAS），
∴DF=EF，∠DFB=∠EFA．
∵∠DFB+∠DFA=60°，
∴∠EFA+∠DFA=60°，
即∠DFE=60°
∴△DFE是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．