Question

如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為

2

-1，直線L：y=-x-

2

與坐標軸分別交于A、C兩點，點B的坐標為（4，1），⊙B與x軸相切于點M．
（1）求點A的坐標及∠CAO的度數(shù)；
（2）⊙B以每秒1個單位長度的速度沿x軸負方向平移，同時，直線l繞點A順時針勻速旋轉(zhuǎn)．當⊙B第一次與⊙O相切時，直線L也恰好與⊙B第一次相切．問：直線AC繞點A每秒旋轉(zhuǎn)多少度？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線的方程，可得A的坐標、點C的坐標，進而可得AO，CO的長；最后可得∠CAO=45°；
（2）根據(jù)題意，求得⊙B第一次與⊙O相切，即外切時，運動的長度與時間、直線l的位置；進而求出其旋轉(zhuǎn)的角度，最后可求得直線AC繞點A每秒旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

解答：解：（1）A（-

2

，0），
∵C（0，-

2

），
∴OA=OC．
∵OA⊥OC，
∴∠CAO=45°．

（2）如圖，設(shè)⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，此時，直線α旋轉(zhuǎn)到α₁恰好與⊙B₁第一次相切于點P，⊙B₁與x軸相切于點N，連接B₁O，B₁N，則MN=t．
∵以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為

2

-1，點B的坐標為（4，1），⊙B與x軸相切于點M．
∴B₁O=

2

-1+1=

2

，
∵B₁N⊥AN，
∴MN=3，即t=3．
連接B₁A，B₁P．則B₁P⊥AP，B₁P=B₁N．
∴∠PAB₁=∠NAB₁
∵OA=OB₁=

2

，
∴∠AB₁O=∠NAB₁
∴∠PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠PAC=90°，
∴

360°-90°

3

=90°
∴直線AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)每秒轉(zhuǎn)動90°．

點評：本題在平面直角坐標系中，求解圓的位置關(guān)系的問題，考查學(xué)生代數(shù)與幾何知識的綜合運用能力．