Question

設(shè)a、b、c、d是四個(gè)整數(shù)，且使得m=(ab+cd)2-

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(a2+b2-c2-d2)2是一個(gè)非零整數(shù)，求證：|m|一定是個(gè)合數(shù)．

Answer 1

分析：先把m=(ab+cd)2-

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(a2+b2-c2-d2)2進(jìn)行因式分解，再由因式分解的結(jié)果及合數(shù)的定義進(jìn)行解答．

解答：解：要證明|m|是合數(shù)，只要能證出|m|=p•q，p•q均為大于1的正整數(shù)即可．證明：m=(ab+cd)2-

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4

(a2+b2-c2-d2)
=[ab+cd+

1

2

(a2+b2-c2-d2)][ab+cd-

1

2

(a2+b2-c2-d2)
=

1

4

[2ab+2cd+a2+b2-c2-d2][2ab+2cd-a2-b2+c2+d2]
=

1

4

[(a+b)2-(c-d)2][(c+d)2-(a-b)2]
=

1

4

(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)
因?yàn)閙是非零整數(shù)，則

1

4

(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)是非零整數(shù)．
由于四個(gè)數(shù)a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘積應(yīng)被4整除，
所以四個(gè)數(shù)均為偶數(shù)．
所以可設(shè)a+b+c-d=2m₁，a+b-c+d=2m₂，a-b+c+d=2m₃，-a+b+c+d=2m₄，其中m₁，m₂，m₃，m₄均為非零整數(shù)．
所以m=

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4

（2m₁）（2m₂）（2m₃）（2m₄）=4m₁m₂m₃m₄，
所以|m|=4|m₁m₂m₃m₄|≠0，
所以|m|是一個(gè)合數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義、因式分解、奇數(shù)與偶數(shù)的定義、絕對值的性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大．