Question

【題目】如圖，拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)．

求拋物線的解析式；

點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E．

當(dāng)時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

是否存在點(diǎn)P使為等腰三角形？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為或或或．

【解析】分析：（1）由直線解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）①可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出E、D的坐標(biāo)，從而可表示出PE和ED的長(zhǎng)，由條件可知到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；②由E、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可表示出BE、CE和BC的長(zhǎng)，由等腰三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于E點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

詳解：點(diǎn)在直線上，

，

，

把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，

拋物線解析式為；

設(shè)，則，，

則，，

，

，

當(dāng)時(shí)，解得或，但當(dāng)時(shí)，P與A重合不合題意，舍去，

；

當(dāng)時(shí)，解得或，但當(dāng)時(shí)，P與A重合不合題意，舍去，

；

綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為或；

設(shè)，則，且，，

，，，

當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則有、或三種情況，

當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；

當(dāng)時(shí)，則，解得或，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為或；

當(dāng)時(shí)，則，解得或，當(dāng)時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，不合題意，舍去，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為或或或．