Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，分別以A，B為圓心，4為半徑畫弧，已知圓E分別與兩條弧相切，與AD相切于F，求圓E的半徑．

Answer 1

解：設(shè)⊙E的半徑為R；
由于⊙A與⊙E內(nèi)切，所以AE=4-R；
由于⊙A與⊙B外切，所以BE=4+R；
易知AG=EF=R，BG=AB-AG=4-R；
在Rt△AGE中，EG²=（4-R）²-R²，
在Rt△BGE中，EG²=（4+R）²-（4-R）²，
所以：（4-R）²-R²=（4+R）²-（4-R）²，解得R=；
即⊙E的半徑為．
分析：由第②個(gè)圖可看出，在Rt△AGE中，由于⊙A、⊙E內(nèi)切，因此AE為兩圓的半徑差，易知AG即為⊙E的半徑，利用勾股定理可表示出EG²的值；同理，在Rt△ABC中，由于⊙B、⊙E外切，BE為兩圓的半徑和，而BG為兩圓的半徑差，利用勾股定理可表示出EG²的值，聯(lián)立兩式即可求得⊙E的半徑．
點(diǎn)評：此題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，難度適中．