Question

已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作⊙O₁的切線交⊙O₂于點(diǎn)E，連接EB并延長交⊙O₁于點(diǎn)C，直線CA交⊙O₂于點(diǎn)D．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合時(shí)，試猜想線段EA=ED是否成立？證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，直線AC與⊙O₂有怎樣的位置關(guān)系？此時(shí)若BC=2，CE=8，求⊙O₁的直徑．

Answer 1

（1）解：EA=ED成立．
證明：連接AB，在EA延長線上取點(diǎn)F；
∵AE是⊙O₁的切線，切點(diǎn)為A，
∴∠FAC=∠ABC，
∵∠FAC=∠DAE（對(duì)頂角），
∴∠ABC=∠DAE，
而∠ABC是⊙O₂內(nèi)接四邊形ABED的外角，
∴∠ABC=∠D，
∴∠DAE=∠D，
∴EA=ED；

（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，
直線CA與⊙O₂只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以，直線CA與⊙O₂相切，
直徑為4．
分析：（1）本題可通過證角相等來證邊相等．連接AB，那么ABED就是圓O₂的內(nèi)接四邊形，根據(jù)內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，∠ABC=∠D，那么只要再得出∠DAE=∠ABC即可得證，我們發(fā)現(xiàn)∠EAD的對(duì)頂角正好是圓O₁的弦切角，因此∠DAE=∠ABC，由此便可求出∠DAE=∠D，根據(jù)等角對(duì)等邊也就得出本題要求的結(jié)論了；
（2）DA重合時(shí)，CA與圓O₂只有一個(gè)交點(diǎn)，即相切．那么CA，AE分別是⊙O₁和⊙O₂的直徑（和切線垂直弦必過圓心），根據(jù)切割線定理AC₂=CB•CE，即可得出AC=4，即圓O₁的直徑是4．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)，弦切角定理切割線定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用．