Question

（2012•株洲模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），經(jīng)過A、O兩點(diǎn)作⊙D交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)B．且點(diǎn)O為半圓

AOB

的中點(diǎn)．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）過B點(diǎn)作⊙D的切線交x軸與點(diǎn)E，試判斷拋物線的頂點(diǎn)時是否在直線BE上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）易證△AOB為等腰直角三角形，則OA=OB=3．因?yàn)辄c(diǎn)B位于y軸上，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是0，所以B（0，3）；
（2）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx+c（a≠0），列出關(guān)于系數(shù)a、b、c的方程組，通過解方程組可以求得它們的值；
（3）利用（2）中的拋物線解析式可以求得該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，把該頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線BE方程式，如果適合，則說明拋物線的頂點(diǎn)時在直線BE上．反之，拋物線的頂點(diǎn)時不在直線BE上．

解答：解：（1）如圖，∵O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），
∴OA=3．
∵點(diǎn)O為半圓

AOB

的中點(diǎn)，
∴OB=OA=3．
∵點(diǎn)B位于y軸的負(fù)半軸，
∴B（0，-3）；

（2）設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
∵A（3，0），B（0，-3），C（-1，0），
∴

9a+3b+c=0 c=-3 a-b+c=0

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（3）拋物線的頂點(diǎn)在直線BE上，理由如下：
∵在△AOB中，OA=OB，∠OAB=90°，
∴∠OBA=45°．
又∵BE是⊙D的切線，
∴BE⊥AB，即∠EBA=90°，
∴∠EBO=∠ABO，
∴OE=OB=3，則E（-3，0）．
設(shè)直線BE的方程為y=kx-3（k≠0）．則0=-3k-3，
解得，k=-1，
∴直線BE的方程為y=-x-3．
由（2）知，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=x²-2x-3，則該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，-4）．
∵當(dāng)x=1時，y=-1-3=-4，
∴拋物線的頂點(diǎn)在直線BE上．

點(diǎn)評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，圓的切線的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．綜合性強(qiáng)，能力要求極高．需要學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．