(1)證明:∵AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD
∵AB=AD
∴∠ADB=∠ABD
∴∠ABD=∠CBD;
(2)證明:∵AE∥DB
∴∠E=∠CBD
由(1)得∠ABD=∠CBD
∴∠ABC=2∠CBD=2∠E
又∵∠C=2∠E
∴∠ABC=∠C
∴在梯形ABCD中,AB=DC;
(3)解:過D作DF⊥BC,垂足為F,由sinC=
,得
=
由(2)得CD=AB,又∵AB=AD=
,
∴CD=
,DF=
∵AD∥BC,AE∥DB
∴四邊形AEBD是平行四邊形
∴S
四邊形AEBD=AD•DF=
×
=
.
分析:(1)由兩直線AD∥BC,推知內錯角∠ADB=∠CBD;在△BAD中,根據(jù)等邊AB=AD,推知等角∠ADB=∠ABD;所以由等量代換證得∠ABD=∠CBD;
(2)由兩直線AE∥DB,推知同位角∠E=∠CBD;利用(1)的結果、等量代換求得∠ABC=2∠CBD=2∠E;根據(jù)已知條件知∠ABC=∠C,最后根據(jù)等腰梯形的性質知AB=DC;
(3)過D作DF⊥BC,垂足為F,構造四邊形AEBD的高.在直角三角形CDF中,利用角的三角函數(shù)值的意義求得
=
;利用(2)的結論以及勾股定理求得CD=
,DF=
;最后根據(jù)平行四邊形的判定定理知四邊形AEBD是平行四邊形,再由平行四邊形的面積公式:S=底×高,求得S
四邊形AEBD=AD•DF=
.
點評:本題考查了梯形、解直角三角形.解答該題時,充分利用了平行線的性質:兩直線平行,內錯角(同位角)相等.