Question

如圖1，一個(gè)直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓的內(nèi)壁逆時(shí)針方向滾動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．那么，當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周時(shí)，請(qǐng)將點(diǎn)M、N在大圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成的痕跡繪制在圖2中．

Answer 1

分析：根據(jù)已知中直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針方向滾動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．我們分析滾動(dòng)過程中，M，N的位置與大圓及大圓圓心的重合次數(shù)，及點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，進(jìn)而得出答案．

解答：解：如圖1所示：
由題意可知，小圓O₁總與大圓O相內(nèi)切，且小圓O₁總經(jīng)過大圓的圓心O．
設(shè)某時(shí)刻兩圓相切于點(diǎn)A，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M所處位置為點(diǎn)M′，則大圓圓弧

AM

與小圓點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的圓弧相等．
以切點(diǎn)A在如圖上運(yùn)動(dòng)為例，記直線OM與此時(shí)小圓O₁的交點(diǎn)為M₁，記∠AOM=θ，則∠OM₁O₁=∠M₁OO₁=θ，
故∠M₁O₁A=∠M₁OO₁+∠OM₁O₁=2θ．
大圓圓弧

MA

的長(zhǎng)為l₁=θ×1=θ，小圓圓弧

AM1

的長(zhǎng)為l₂=2θ×

1

2

=θ，即l₁=l₂，
∴小圓的兩段圓弧

AM1

與圓弧

AM′

長(zhǎng)相等，故點(diǎn)M₁與點(diǎn)M′重合，
即動(dòng)點(diǎn)M在線段MO上運(yùn)動(dòng)，同理可知，此時(shí)點(diǎn)N在線段OB上運(yùn)動(dòng)．
點(diǎn)A在其他象限類似可得，M、N的軌跡為相互垂直的線段．
點(diǎn)M、N在大圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成的痕跡繪制在圖2中，如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象與圖象變化，其中分析出M，N的位置與大圓及大圓圓心的重合次數(shù)，以及點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)與切點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)相等是解答本題的關(guān)鍵．