Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=x，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF（點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)），再將紙片還原．
（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為

 

；
（2）寫(xiě)出使四邊形EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當(dāng)x=2時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；
（3）令EF²=y，當(dāng)點(diǎn)E在AD、點(diǎn)F在BC上時(shí)，寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出x的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，得出∠DEF=∠FEP=45°，利用勾股定理得出答案即可；
（2）結(jié)合EF的長(zhǎng)度得出x的取值范圍，當(dāng)x=2時(shí)，設(shè)PE=m，則AE=2-m，利用勾股定理得出答案；
（3）構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例確定y的值．

解答：解：（1）∵紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF，
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)P重合是已知條件，
∴∠DEF=∠FEP=45°，
∴∠DFE=45°，即：ED=DF=1，
利用勾股定理得出EF=

2

，
∴折痕EF的長(zhǎng)為

2

．
故答案為：

2

；

（2）∵要使四邊形EPFD為菱形，
∴DE=EP=FP=DF，
只有點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，EF最長(zhǎng)為

2

，此時(shí)x=1，
當(dāng)EF最長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)P與B重合，此時(shí)x=3，
∴探索出1≤x≤3
當(dāng)x=2時(shí)，如圖，連接DE、PF．
∵EF是折痕，
∴DE=PE，設(shè)PE=m，則AE=2-m
∵在△ADE中，∠DAP=90°，
∴AD²+AE²=DE²，即1²+（2-m）²=m²，
解得 m=1.25，此時(shí)菱形EPFD的邊長(zhǎng)為1.25；
（3）過(guò)E作EH⊥BC；

∵∠EDO+∠DOE=90°，∠FEO+∠EOD=90°，
∴∠ODE=∠FEO，
∴△EFH∽△DPA，
∴

FH

EH

=

AP

AD

，
∴FH=3x；
∴y=EF²=EH²+FH²=9+9x²；
當(dāng)F與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖，連接PF；
∵PF=DF=3，
∴PB=

32-12

=2

2

，
∴0≤x≤3-2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合性較強(qiáng)的題目，主要考查學(xué)生的圖感，利用折疊過(guò)程中的等量關(guān)系尋找解題途徑；特別是最后一問(wèn)中涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，需要同學(xué)們利用相似三角形的性質(zhì)確定函數(shù)關(guān)系式．