【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+bx+c與y軸的交于點A(0,3),與x軸的交于點B和C,點B的橫坐標(biāo)為2.點A關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點為點D,在x軸上有一動點E(t,0),過點E作平行于y軸的直線與拋物線、直線AD的交點分別為P、Q.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點P在線段AC的下方時,求△APC面積的最大值;
(3)當(dāng)t>2時,是否存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似.若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣2x+3;(2)當(dāng)t=3時,△APC的面積取最大值,最大值為;(3)當(dāng)t>2時,存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似,此時t的值為或或14.
【解析】
(1)由點A、B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點C的坐標(biāo),由點A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式,設(shè)直線l與直線AC的交點為F,則點F的坐標(biāo)為(t,﹣t+3).結(jié)合點P的坐標(biāo)即可得出PF的值,由S△APC=S△APF+S△CPF可得出S△APC=﹣(t﹣3)2+,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題;
(3)由∠AOB=∠AQP=90°,可分△AOB∽△AQP和△AOB∽△PQA兩種情況考慮,利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于t的方程,解之即可得出結(jié)論.
(1)將A(0,3)、B(2,0)代入y=x2+bx+c,得:
,解得:,∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x+3.
(2)當(dāng)y=0時,有x2﹣2x+3=0,解得:x1=2,x2=6,∴點C的坐標(biāo)為(6,0).
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n(m≠0),將A(0,3)、C(6,0)代入y=mx+n,得:
,解得:,∴直線AC的解析式為y=﹣x+3.
設(shè)直線l與直線AC的交點為F,如圖1所示,則點F的坐標(biāo)為(t,﹣t+3).
∵點P的坐標(biāo)為(t,t2﹣2t+3),∴PF=﹣t+3﹣(t2﹣2t+3)=﹣t2+t,∴S△APC=S△APF+S△CPF=OEPF+CEPF=OCPF=×6×(﹣t2+t)=﹣(t﹣3)2+.
∵a=﹣<0,當(dāng)t=3時,△APC的面積取最大值,最大值為.
(3)假設(shè)存在.
∵∠AOB=∠AQP=90°,∴分△AOB∽△AQP和△AOB∽△PQA兩種情況考慮.
∵A(0,3),B(2,0),Q(t,3),P(t,t2﹣2t+3),∴AO=3,BO=2,AQ=t,PQ=|t2﹣2t|.
①當(dāng)△AOB∽△AQP時,有=,即=,解得:t1=0(舍去),t2=,t3=,經(jīng)檢驗,t2=、t3=是所列分式方程的解;
②當(dāng)△AOB∽△PQA時,有=,即=,解得:t4=0(舍去),t5=2(舍去),t6=14,經(jīng)檢驗,t6=14是所列分式方程的解.
綜上所述:當(dāng)t>2時,存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似,此時t的值為或或14.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某青春黨支部在精準(zhǔn)扶貧活動中,給結(jié)對幫扶的貧困家庭贈送甲、乙兩種樹苗讓其栽種.已知乙種樹苗的價格比甲種樹苗貴10元,用480元購買乙種樹苗的棵數(shù)恰好與用360元購買甲種樹苗的棵數(shù)相同.
(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格各是多少元?
(2)在實際幫扶中,他們決定再次購買甲、乙兩種樹苗共50棵,此時,甲種樹苗的售價比第一次購買時降低了10%,乙種樹苗的售價不變,如果再次購買兩種樹苗的總費用不超過1500元,那么他們最多可購買多少棵乙種樹苗?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點,并經(jīng)過B點,已知A點坐標(biāo)是(2,0),B點坐標(biāo)是(8,6).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)及D點的坐標(biāo);
(3)二次函數(shù)的對稱軸上是否存在一點C,使得△CBD的周長最?若C點存在,求出C點的坐標(biāo);若C點不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年9月,我國中小學(xué)生迎來了新版“教育部統(tǒng)編義務(wù)教育語文教科書”,本次“統(tǒng)編本”教材最引人關(guān)注的變化之一是強調(diào)對傳統(tǒng)文化經(jīng)典著作的閱讀,某校對A《三國演義》、B《紅樓夢》、C《西游記》、D《水滸》四大名著開展“最受歡迎的傳統(tǒng)文化經(jīng)典著作”調(diào)查,隨機調(diào)查了若干名學(xué)生(每名學(xué)生必選且只能選這四大名著中的一部)并將得到的信息繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖:
(1)本次一共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)某班語文老師想從這四大名著中隨機選取兩部作為學(xué)生暑期必讀書籍,請用樹狀圖或列表的方法求恰好選中《三國演義》和《紅樓夢》的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)對全校學(xué)生進(jìn)行文明禮儀知識測試,為了解測試結(jié)果,隨機抽取部分學(xué)生的成績進(jìn)行分析,將成績分為三個等級:不合格、一般、優(yōu)秀,并繪制成如圖兩幅統(tǒng)計圖(不完整).
請你根據(jù)圖中所給的信息解答下列問題:
(1)這次測試,一共抽取了名學(xué)生;
(2)請將以上兩幅統(tǒng)計圖補充完整;(注:扇形圖補百分比,條形圖補“優(yōu)秀”人數(shù)與高度);
(3)若“一般”和“優(yōu)秀”均被視為達(dá)標(biāo)成績,該校學(xué)生有1200人,請你估計此次測試中,全校達(dá)標(biāo)的學(xué)生有多少人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,都是由邊長為1的正方體疊成的圖形,例如第(1)個圖形的表面積為6個平方單位,第(2)個圖形的表面積為18個平方單位,第(3)個圖形的表面積是36個平方單位.依此規(guī)律,則第(6)個圖形的表面積_____個平方單位.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABC中, A=80, ABC與ACD的平分線交于點A1,得A1; A1BC與A1CD的平分線相交于點A2,得A2;……; A7BC與A7CD的平分線相交于點A8,得A8,則A8的度數(shù)為()
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的外接圓為⊙O,點P在劣弧BC上(不與B、C點重合).
(1)求∠BPC的度數(shù);
(2)若正方形ABCD的邊長為2cm,求⊙O的半徑及陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中每個小正方形的邊長為1,四邊形ABCD的頂點都在格點上.
(1)在方格紙上建立平面直角坐標(biāo)系,使四邊形ABCD的頂點A,C的坐標(biāo)分別為(﹣5,﹣1),(﹣3,﹣3),并寫出點D的坐標(biāo);
(2)在(1)中所建坐標(biāo)系中,畫出四邊形ABCD關(guān)于x軸的對稱圖形A1B1C1D1,并寫出點B的對應(yīng)點B1的坐標(biāo).
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