【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+bx+cy軸的交于點A(0,3),與x軸的交于點BC,點B的橫坐標(biāo)為2.點A關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點為點D,在x軸上有一動點E(t,0),過點E作平行于y軸的直線與拋物線、直線AD的交點分別為P、Q.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)點P在線段AC的下方時,求△APC面積的最大值;

(3)當(dāng)t>2時,是否存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似.若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣2x+3;(2)當(dāng)t=3時,△APC的面積取最大值,最大值為;(3)當(dāng)t>2時,存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似,此時t的值為14.

【解析】

1)由點A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;

2)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點C的坐標(biāo)由點A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式設(shè)直線l與直線AC的交點為F,則點F的坐標(biāo)為(t,﹣t+3).結(jié)合點P的坐標(biāo)即可得出PF的值,SAPC=SAPF+SCPF可得出SAPC=﹣t32+再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題;

3)由∠AOB=AQP=90°,可分△AOB∽△AQP和△AOB∽△PQA兩種情況考慮利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于t的方程,解之即可得出結(jié)論

1)將A03)、B2,0)代入y=x2+bx+c,

,解得,∴拋物線的解析式為y=x22x+3

2)當(dāng)y=0,x22x+3=0,解得x1=2,x2=6∴點C的坐標(biāo)為(6,0).

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+nm0),A03)、C6,0)代入y=mx+n,

,解得,∴直線AC的解析式為y=﹣x+3

設(shè)直線l與直線AC的交點為F,如圖1所示,則點F的坐標(biāo)為(t,﹣t+3).

∵點P的坐標(biāo)為(t,t22t+3),PF=﹣t+3﹣(t22t+3)=﹣t2+t,SAPC=SAPF+SCPF=OEPF+CEPF=OCPF=×6×(﹣t2+t)=﹣t32+

a=﹣0,當(dāng)t=3,APC的面積取最大值,最大值為

3)假設(shè)存在

∵∠AOB=AQP=90°,∴分△AOB∽△AQP和△AOB∽△PQA兩種情況考慮

A03),B2,0),Qt,3),Pt,t22t+3),AO=3,BO=2,AQ=tPQ=|t22t|

①當(dāng)△AOB∽△AQP=,=,解得t1=0(舍去),t2=,t3=,經(jīng)檢驗,t2=、t3=是所列分式方程的解;

②當(dāng)△AOB∽△PQA=,=解得t4=0(舍去),t5=2(舍去)t6=14,經(jīng)檢驗t6=14是所列分式方程的解

綜上所述當(dāng)t2,存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似,此時t的值為14

練習(xí)冊系列答案
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(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格各是多少元?

(2)在實際幫扶中,他們決定再次購買甲、乙兩種樹苗共50棵,此時,甲種樹苗的售價比第一次購買時降低了10%,乙種樹苗的售價不變,如果再次購買兩種樹苗的總費用不超過1500元,那么他們最多可購買多少棵乙種樹苗?

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(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)求函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)及D點的坐標(biāo);

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(1)本次一共調(diào)查了   名學(xué)生;

(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;

(3)某班語文老師想從這四大名著中隨機選取兩部作為學(xué)生暑期必讀書籍,請用樹狀圖或列表的方法求恰好選中《三國演義》和《紅樓夢》的概率.

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請你根據(jù)圖中所給的信息解答下列問題:

(1)這次測試,一共抽取了名學(xué)生;

(2)請將以上兩幅統(tǒng)計圖補充完整;(注:扇形圖補百分比,條形圖補優(yōu)秀人數(shù)與高度);

(3)若一般優(yōu)秀均被視為達(dá)標(biāo)成績,該校學(xué)生有1200人,請你估計此次測試中,全校達(dá)標(biāo)的學(xué)生有多少人.

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