Question

20．若關(guān)于x的方程（2m-1）x²-2$\sqrt{m}$x+1=0有兩個不相等實數(shù)根．
（1）求m范圍；
（2）如果$\sqrt{m}$+$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$=13，求$\sqrt{m}$-$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的定義、二次根式的意義和判別式的意義得到2m-1≠0，m≥0且△=4m-4（2m-1）×1＞0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)完全平方公式得出m+$\frac{1}{m}$=（$\sqrt{m}$+$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$）²-2=167，（$\sqrt{m}$-$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$）²=m+$\frac{1}{m}$-2=165．由（1）求出的m的范圍得出$\sqrt{m}$＜$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$，從而得到$\sqrt{m}$-$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得2m-1≠0，m≥0且△=4m-4（2m-1）×1＞0，
解得0≤m＜1且m≠$\frac{1}{2}$；

（2）∵$\sqrt{m}$+$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$=13，
∴m+$\frac{1}{m}$=（$\sqrt{m}$+$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$）²-2=167．
∴（$\sqrt{m}$-$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$）²=m+$\frac{1}{m}$-2=165．
∵0≤m＜1且m≠$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{m}$＜$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$，
∴$\sqrt{m}$-$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$=-$\sqrt{165}$．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義、二次根式的意義以及完全平方公式．