Question

如圖①所示，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，E是直線AB上一點，過E作直線l∥BC，交直線CD于點F．將直線l向右平移，設(shè)平移距離BE為t（t≥0），直角梯形ABCD被直線l掃過的面積（圖中陰影部分）為S，S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖②所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，N點橫坐標(biāo)為4．

信息讀取
（1）梯形上底的長AB=

 

；
（2）直角梯形ABCD的面積=

 

；
圖象理解
（3）寫出圖②中射線NQ表示的實際意義；
（4）當(dāng)2＜t＜4時，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
問題解決
（5）當(dāng)t為何值時，直線l將直角梯形ABCD分成的兩部分面積之比為1：3．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖②可知，當(dāng)0≤t≤2時，E在線段AB上運動（包括與A、B重合），在此期間E點運動了2，因此可求得AB的長為2．
（2）根據(jù)圖形可知：當(dāng)2＜t＜4時，E在AB的延長線上，且F在D點左側(cè)，此期間E點運動了2，因此下底長為2+2=4，根據(jù)t=2時，重合部分的面積為8可求出梯形的高為4，因此梯形的面積為

1

2

×（2+4）×4=12．
（3）當(dāng)t＞4時，直線l與梯形沒有交點，因此掃過的面積恒為梯形的面積12．
（4）當(dāng)2＜t＜4時，直線掃過梯形的部分是個五邊形，如果設(shè)直線l與AD的交點為0，那么重合部分的面積可用梯形的面積減去三角形OFD的面積來求得．梯形的面積在（2）中已經(jīng)求得．三角形OFD中，底邊DF=4-t，而DF上的高，可用DF的長和∠BCD的正切值求出，由此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
（5）本題要分情況討論：
①當(dāng)0＜t＜2時，重合部分的平行四邊形的面積：直角梯形AEFD的面積=1：3，據(jù)此可求出t的值．
②當(dāng)2＜t＜4時，重合部分的五邊形的面積：三角形OFD的面積=3：1，由此可求出t的值．

解答：解：由題意得：
（1）AB=2．

（2）S_梯形ABCD=12．

（3）當(dāng)平移距離BE大于等于4時，直角梯形ABCD被直線l掃過的面積恒為12．

（4）當(dāng)2＜t＜4時，如圖所示，
直角梯形ABCD被直線l掃過的面積S=S_{直角梯形ABCD}-S_Rt△DOF
=12-

1

2

（4-t）×2（4-t）=-t²+8t-4．

（5）①當(dāng)0＜t＜2時，有4t：（12-4t）=1：3，解得t=

3

4

．
②當(dāng)2＜t＜4時，有（-t²+8t-4）：[12-（-t²+8t-4）]=3：1，
即t²-8t+13=0，
解得t=4-

3

，t=4+

3

（舍去）．
答：當(dāng)t=

3

4

或t=4-

3

時，直線l將直角梯形ABCD分成的兩部分面積之比為1：3．

點評：本題是運動型問題，考查了直角梯形和平行四邊形的性質(zhì)、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識．