Question

如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠BCD=60°，對(duì)角線AC平分∠BAD．
（1）求證：CD=CB；
（2）若AB=3，AC=5，求AD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）在AB上取一點(diǎn)E，使得AD=AE，易證∠CAE=∠CAD，即可證明△ACD≌△ACE，可得∠D=∠AEC，CD=CE，即可證明∠B=∠BEC，可得BC=CE，即可解題；
（2）在AC上取一點(diǎn)E使得AE=AD，連接BD，易證△ADE和△BCD是等邊三角形，可得AD=DE=AE，∠ADE=60°，CD=BD，∠CDB=60°，即可求得∠ADB=∠CDE，即可證明△ADB≌△EDC，可得CE=AB，即可解題．

解答：（1）證明：在AB上取一點(diǎn)E，使得AD=AE，

∵AC平分∠BAD，
∴∠CAE=∠CAD，
在△ACD和△ACE中，

AD=AE ∠CAE=∠CAD AC=AC

，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴∠D=∠AEC，CD=CE，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AEC+∠BEC=180°，
∴∠B=∠BEC，
∴BC=CE，
∴BC=CD；
（2）解：在AC上取一點(diǎn)E使得AE=AD，連接BD，

∵∵AC平分∠BAD，
∴∠CAE=∠CAD=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=60°，
∵∠BCD=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴CD=BD，∠CDB=60°，
∵∠CDE+∠BDE=∠CDB=60°，∠ADB+∠BDE=∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠CDE，
在△ADB和△EDC中，

AD=DE ∠ADB=∠CDE CD=BD

，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴CE=AB，
∵AC=AE+CE，
∴AC=AD+AB，
∴AD=AC-AB=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△ACE和△ADB≌△EDC是解題的關(guān)鍵．