Question

正方形ABCD的對角線交點為O，兩條對角線把它分成了四個面積相等的三角形．
（1）平行四邊形ABCD的兩條對角線交點為O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，試判斷S₁，S₂，S₃，S₄的關(guān)系，并加以證明；
（2）四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，交點為O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，試判斷S₁，S₂，S₃，S₄的關(guān)系，并加以證明；
（3）四邊形ABCD的兩條對角線交點為O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，試判斷S₁，S₂，S₃，S₄的關(guān)系，并加以證明；
（4）四邊形ABCD的兩條對角線相等，交點為O，∠BAC=∠BDC，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，試只用S₁，S₃或只用S₂，S₄表示四邊形ABCD的面積S．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證得四個小三角形面積相等；
（2）我們可以表示出這四個面積，S₁=

1

2

OA•OB，S₂=

1

2

OB•OC，S₃=

1

2

OC•OD，S₄=

1

2

OD•OA，于是我們發(fā)現(xiàn)S₁S₃=S₂S₄；
（3）雖然兩條對角線不垂直了，但是思路和（2）是一樣的；
（4）應(yīng)該分AB與CD平行或不平行兩種情況進行分析．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，
∵△AOB，△BOC的邊OA，OC上的高相同，
∴S₁=S₂，
同理S₂=S₃，S₃=S₄，S₄=S₁，
∴S₁=S₂=S₃=S₄．

（2）∵AC⊥BD，垂足為O，
∴S₁=

1

2

OA•OB，S₂=

1

2

OB•OC，S₃=

1

2

OC•OD，S₄=

1

2

OD•OA，
∴S₁S₃=S₂S₄；

（3）設(shè)點B到線段AC所在直線的距離為h₁，點D到線段AC所在直線的距離為h₂，
∴S₁=

1

2

OA•h₁，S₂=

1

2

OC•h₁，S₃=

1

2

OC•h₂，S₄=

1

2

OA•h₂，
∴S₁S₃=S₂S₄；

（4）∵BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，
∴∠DCA=∠ABD，
當AB與CD不平行時，必相交于一點，
設(shè)線段BA與CD的延長線交于點E，
∵AC=BD，∠AEC=∠DEB，
∴△AEC≌△DEB，
∴AE=DE，CE=BE，
∴AB=DC，
∴△AOB≌△DOC，
∴S₁=S₃，
∵S₁S₃=S₂S₄，
∴S₁²=S₂S₄，
∴S=S₁+S₂+S₃+S₄=2S₁+S₂+S₄=S₂+S₄+2

S2S4

（或=（

S2

+

S4

）²）；
當AB與CD平行時，則△ABD與△BAC同底等高，有S₁+S₂=S₁+S₄，
∴S₂=S₄，
∵S₁S₃=S₂S₄，
∴S₂²=S₁S₃，S=S₁+S₃+2S₂=S₁+S₃+2

S1S3

（或=（

S1

+

S3

）²）．

點評：本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)以及三角形面積公式的靈活運用．要注意（4）中要分AB，CD平行和不平行兩種情況來求解．