Question

（2013•道里區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，直線CD交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，交y軸正半軸于點(diǎn)D，直線CD交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作x軸的垂線，點(diǎn)F為垂足，若EF=3，tan∠ECF=

1

2

（1）求直線CD的解析式；
（2）橫坐標(biāo)為t的點(diǎn)P在CD（點(diǎn)P不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合）上，過點(diǎn)P作x軸的平行線交AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作AB的垂線交y軸于點(diǎn)H，設(shè)線段OH的長為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，OH的中點(diǎn)在以PF為直徑的圓上？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件“過點(diǎn)E作x軸的垂線，點(diǎn)F為垂足，若EF=3”求得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，然后將其代入直線AB的方程即可求得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，再由tan∠ECF=

1

2

求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；所以將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)分別代入直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求得k、b的值即可；
（2）根據(jù)題意知，-4＜t＜0．如圖1，設(shè)PG交y軸于點(diǎn)M．根據(jù)等腰直角△BGH“三合一”的性質(zhì)推知BM=MG=MH=5-（

1

2

t+2）=-

1

2

t+3，然后結(jié)合t的取值范圍知點(diǎn)H在y軸的負(fù)半軸上，再由圖形中線段間的和差關(guān)系求得以t表示的線段OH的長度d；
（3）通過相似三角形△PMN∽△NOF的對應(yīng)邊成比例得到

PM

NO

=

MN

OF

，因?yàn)镻M=t，NO=

OH

2

=

1-t

2

，MN=

1-t

2

+

1

2

t+2=

5

2

，所以將相關(guān)線段的長度代入該比例式即可求得t的值．

解答：解：（1）∵EF=3，EF⊥x軸，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是3，
又∵點(diǎn)E在直線y=-x+5上，
∴E（2，3），則F（2，0）．
∵tan∠ECF=

1

2

，
∴

EF

FC

=

1

2

，則FC=6．
∴OC=FC-OF=6-2=4，即C（-4，0）．
設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b（k≠0），則

3=2k+b 0=-4k+b

，
解得

k= 1 2 b=2

．
∴直線CD的解析式為：y=

1

2

x+2；

（2）根據(jù)題意知，-4＜t＜0．
如圖1，設(shè)PG交y軸于點(diǎn)M．
∵點(diǎn)P在直線CD上，
∴P（t，

1

2

t+2），
∴M（0，

1

2

t+2），
由直線y=-x+5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，易求A（5，0），B（0，5），
∴OA=OB=5，
∴∠OBA=∠OAB=45°．
∵PG∥x軸，GH⊥AB，
∴∠MGB=∠MGH=45°，
∴BM=MG=MH=5-（

1

2

t+2）=-

1

2

t+3，
∵-4＜t＜0，
∴BM＞3，
∴BH＞6＞OB，
∴點(diǎn)H在y軸的負(fù)半軸上，
∴OH=MH-OM，即d=-

1

2

t+3-（

1

2

t+2）=-t+1（-4＜t＜0），
∴d與t之間的函數(shù)關(guān)系式是d=-t+1（-4＜t＜0）；

（3）如圖2，設(shè)OH的中點(diǎn)為N．根據(jù)題意得∠PNF=90°，
∴∠PNM+∠FNO=90°．
∵∠FNO+∠OFN=90°，
∴∠PNM=∠OFN．
又∵∠PMN=∠NOF=90°，
∴△PMN∽△NOF，
∴

PM

NO

=

MN

OF

∵PM=t，NO=

OH

2

=

1-t

2

，MN=

1-t

2

+

1

2

t+2=

5

2

，
∴

-t

1-t 2

=

5 2

2

，
解得t=-

5

3

．
∴當(dāng)t=-

5

3

時(shí)，OH的中點(diǎn)在以PF為直徑的圓上．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理等．綜合性較強(qiáng)，難度較大．