Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連接EF．
（1）證明：EF=CF；
（2）當(dāng)tan∠ADE=

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時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)D作DG⊥BC于G，由已知可得四邊形ABGD為正方形，然后利用正方形的性質(zhì)和已知條件證明△ADE≌△GDC，接著利用全等三角形的性質(zhì)證明△EDF≌△CDF，
（2）由tan∠ADE=

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3

根據(jù)已知條件可以求出AE=GC=2．設(shè)EF=x，則BF=8-CF=8-x，BE=4．在Rt△BEF中根據(jù)勾股定理即可求出x，也就求出了EF．

解答：（1）證明：過(guò)D作DG⊥BC于G．
由已知可得四邊形ABGD為正方形，
∵DE⊥DC．
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，
∴△ADE≌△GDC，
∴DE=DC且AE=GC．
在△EDF和△CDF中

DE=DC ∠EDF=∠CDF DF=DF

，
∴△EDF≌△CDF，
∴EF=CF；

（2）解：∵tan∠ADE=

AE

AD

=

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，
∴AE=GC=2．
∴BC=8，
BE=4，設(shè)CF=x，則BF=8-CF=8-x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：x²=（8-x）²+4²，
解得x=5，
即EF=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查梯形、正方形、直角三角形的相關(guān)知識(shí)．解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線，把梯形分割為矩形和直角三角形，從而由矩形和直角三角形的性質(zhì)來(lái)求解．