Question

已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交線段AB于點E．

 （1）如圖l，當∠ACB=90°時，直接寫出線段DE、CE之間的數(shù)量關系；

 （2）如圖2，當∠ACB=120°時，求證：DE=3CE；

 （3）如圖3，在（2）的條件下，點F是BC邊的中點，連接DF，DF與AB交于G，△DKG和△DBG關于直線DG對稱（點B的對稱點是點K），延長DK交AB于點H．若BH=10，求CE的長.

 

                                                                                                                    

Answer 1

 (1)DE=2CE………………………1分

   (2)證明：過點B作BM⊥DC于M

           ∵BD=BC，

∴DM=CM, ………………………..2分

∴∠DMB=∠CMB=90°,∠DBM=∠CBM=∠DBC=60°

           ∴∠MCB=30°    BM=BC

           ∵BC=2AC，

           ∴BM=AC.

           ∵∠ACB=120°,

           ∴∠ACE=90°.

           ∴∠BME=∠ACE

           ∵∠MEB=∠AEC

           ∴△EMB≌△ECA

           ∴ME=CE=CM ………………………3分

           ∴DE=3EC ………………………………4分

    (3) 過點B作BM⊥DC于M，過點F作FN⊥DB交DB的延長線于點N.

       ∵∠DBF=120°, ∴∠FBN=60°. ∴FN=BF,BN=BF ……5分

     ∵DB=BC=2BF, DN=DB+BN=BF

     ∴DF=BF

     ∵AC=BC,BF=BC

     ∴AC=BF

     ∵∠DBC=∠ACB

     ∴△DBF≌BCA

     ∴∠BDF=∠CBA.

     ∵∠BFG=∠DFB,

     ∴△FBG∽△FDB

     ∴

     ∴,∴BF

    ∴DG=BF,BG=BF

     ∵△DKG和△DBG關于直線DG對稱，

     ∴∠GDH=∠BDF.∠ABC=∠GDH.

     ∵∠BGF=∠DGA,

     ∴△BGF∽△DGH.

     ∴.

     ∴GH=BF.

     ∵BH=BG+GH=BF=10,

     ∴BF=.  …………………………….6分

     ∴BC=2BF=4  ,CM=

     ∴CD=2CM=.

     ∵DE=3EC

     ∴EC=CD=  ……………………………..7分