Question

（2007•西城區(qū)二模）如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)有點(diǎn)P（1，1）、點(diǎn)C（1，3）和二次函數(shù)y=-x²．
（1）若二次函數(shù)y=-x²的圖象經(jīng)過(guò)平移后以C為頂點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出平移后的拋物線的解析式及一種平移的方法；
（2）若（1）中平移后的拋物線與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），求cos∠PBO的值；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OC與PD互相平分？若存在，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，利用頂點(diǎn)式解析式寫(xiě)出平移后的拋物線解析式即可，根據(jù)頂點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)C寫(xiě)出平移方法；
（2）令y=0，求出點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，從而求出BM、PM的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出PB的長(zhǎng)度，最后根據(jù)余弦的定義列式求解即可；
（3）存在．根據(jù)互相垂直平分的四邊形是平行四邊形，可以證明當(dāng)點(diǎn)D為拋物線與y軸的交點(diǎn)時(shí)，四邊形OPCD正好是平行四邊形．

解答：解：（1）平移后以C為頂點(diǎn)的點(diǎn)拋物線解析式為y=-（x-1）²+3，
所以一種移動(dòng)方式是將y=-x²向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移三個(gè)單位長(zhǎng)度；

（2）由（1）知移動(dòng)后的拋物線解析式為y=-（x-1）²+3=x²+2x+2．
令-x²+2x+2=0，
解出x₁=1-

3

，x₂=1+

3

，
連接PB，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，
∴BM=

3

，PM=1，
根據(jù)勾股定理，PB=

BM2+PM2

=

3 2+12

=2，
∴cos∠PBO=

BM

PB

=

3

2

；

（3）存在這樣的點(diǎn)D．
理由如下：欲使OC與PD互相平分，
只要使四邊形OPCD為平行四邊形，
由題設(shè)知，PC∥OD，
又PC=2，PC∥y軸，
∵點(diǎn)D在y軸上，
∴OD=2，
即D（0，2）．
又點(diǎn)D（0，2）在拋物線y=-x²+2x+2上，
故存在點(diǎn)D（0，2），
即OD與PC平行且相等，使線段OC與PD相互平分．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的問(wèn)題，有平移變換的性質(zhì)，拋物線與y軸的交點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，余弦的定義，平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)但難度不大，計(jì)算后利用數(shù)據(jù)的關(guān)系得解比較巧妙．