Question

如圖，在直角坐標系中，點O為原點，直線y=kx+b與x軸交于點A（3，0），與y軸的正半軸交于點B，tan∠OAB=

3

．
（1）求這直線的解析式；
（2）將△OAB繞點A順時針旋轉60°后，點B落到點C的位置，求以點C為頂點且經過點A的拋物線的解析式；
（3）設（2）中的拋物線與x軸的另一個交點為點D，與y軸的交點為E．試判斷△ODE是否與△OAB相似？如果認為相似，請加以證明；如果認為不相似，也請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出A（3，0），得到B的坐標，代入解析式即可求出；
（2）由題意得到C的坐標為（6，3

3

），設拋物線的解析式是y=a（x-6）²+3

3

，把A的坐標代入求出a即可；
（3）相似，與x軸的另一個交點為點D（9，0），與y軸的交點為E（0，-9

3

），得出∠DOE=∠AOB=90°，OD：OA=OE：OB，即可判斷相似．

解答：解：（1）∵直線y=kx+b與x軸交于點A（3，0），
∴OA=3．
∵tan∠OAB=

3

，
即

OB

OA

=

3

，
∴OB=3

3

，
∴點B的坐標為（0，3

3

），
又∵直線y=kx+b經過點A（3，0）、B（0，3

3

），
代入求出直線的解析式為y=-

3

x+3

3

，
答：直線的解析式為y=-

3

x+3

3

．

（2）由題意，可得點C的坐標為（6，3

3

），
設拋物線的解析式是y=a（x-6）²+3

3

，
把A的坐標代入求出a=-

3

3

，
∴所求拋物線的解析式為y=-

3

3

（x-6）²+3

3

，
答：所求拋物線的解析式為y=-

3

3

（x-6）²+3

3

．

（3）答：相似．
證明：由（2），拋物線y=-

3

3

（x-6）²+3

3

與x軸的另一個交點為點D（9，0），與y軸的交點為
E（0，-9

3

）．
∴OD=9，OE=9

3

，
在△ODE與△OAB中，
∵∠DOE=∠AOB=90°，
且OD：OA=OE：OB，
∴△ODE∽△OAB．

點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．