Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，AC=4；D是BC的延長線上的一個(gè)動點(diǎn)，∠EDA=∠B，AE∥BC．
（1）找出圖中的相似三角形，并加以證明；
（2）設(shè)CD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）當(dāng)△ADE為等腰三角形時(shí)，求AE的長．

Answer 1

解：（1）△ADE∽△DBA，理由為：
證明：∵AE∥BC，
∴∠EAD=∠ADB，
∵∠EDA=∠B，
∴△ADE∽△DBA；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，AC=4，
∴AB==5，
∴BC==3，
∵△ADE∽△DBA，
∴=，
設(shè)CD=x，AE=y，
則BD=BC+CD=3+x，AD==，
∴=，
∴y=（x²+16）（x＞0）；
（3）分三種情況考慮：
當(dāng)△ADE為等腰三角形，且AE=AD時(shí)，如圖所示：

∵△ADE∽△DBA，
∴△DBA也為等腰三角形，即DB=DA，此時(shí)四邊形ABDE為平行四邊形，
設(shè)AE=AD=BD=x，則有CD=BD-BC=x-3，
在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：AD²=AC²+CD²，即x²=4²+（x-3）²，
解得：x=，
此時(shí)AE=；
當(dāng)△ADE為等腰三角形，且AE=DE時(shí)，如圖所示：

∵△ADE∽△DBA，
∴AD=AB=5，
在Rt△ACD中，AC=4，AD=5，
根據(jù)勾股定理得：CD=3，
故BD=BC+CD=3+3=6，
∴=，即=，
解得：AE=；
當(dāng)△ADE為等腰三角形，且AD=DE時(shí)，如圖所示：

∵△ADE∽△DBA，
∴BD=AB=5，
故CD=BD-BC=5-3=2，
在Rt△ACD中，AC=4，CD=2，
根據(jù)勾股定理得：AD=2，
∴=，即=，
解得：AE=4，
綜上，AE的值為4或．
分析：（1）△ADE∽△DBA，理由為：由AE平行于BC，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對角相等，再由已知的一對角相等，利用兩對對應(yīng)邊相等的兩三角形相似可得證；
（2）在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出sinB，將AC及sinB的值代入，求出AB的長，進(jìn)而利用勾股定理求出BC的長，由（1）得出的兩三角形相似得出比例式，設(shè)CD=x，AE=y，由BD=BC+BD表示出BD，再由AC及CD的長，利用勾股定理表示出AD，將各自的值代入比例式，整理后即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，并根據(jù)邊CD大于0得到x大于0，即為函數(shù)的定義域；
（3）當(dāng)△ADE為等腰三角形，分三種情況考慮：AE=AD；AE=DE；AD=DE，分別利用相似得比例及勾股定理即可求出AE的長．
點(diǎn)評：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，以及等腰三角形的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．