Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，若E，F，G，H分別是梯形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的中點．
（1）求證：四邊形EFGH平行四邊形；
（2）當梯形ABCD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形；
（3）在（2）的條件下，梯形ABCD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

（1）證明：連接AC、BD．
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，
∴EF∥AC，GH∥AC；
EF=AC，GH=AC．
∴EF∥GH，EF=GH．
∴四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）解：∵EF=GH=AC，EH=FG=BD，
∴若四邊形EFGH為菱形，
則EF=FG，從而AC=BD．得ABCD為等腰梯形，AD=BC．
∴當梯形ABCD的邊滿足AD=BC時，四邊形EFGH為菱形．

（3）解：∵四邊形EFGH為菱形，
根據有一個角是直角的菱形是正方形，
故梯形ABCD滿足AC⊥BD條件時，四邊形EFGH是正方形．
分析：（1）連接對角線，利用三角形中位線定理，根據平行四邊形的判定方法判斷．
（2）根據菱形四邊相等可推出梯形對角線相等，即梯形是等腰梯形，AD=BC．
（3）要證明四邊形EFGH是正方形，則要證明四邊形EFGH有一個角是直角．
點評：此題考查了三角形中位線定理、菱形的性質、等腰梯形的判定，正方形的判定等知識點，綜合性較強．