Question

（2009•紹興）若從矩形一邊上的點(diǎn)到對邊的視角是直角，則稱該點(diǎn)為直角點(diǎn)．例如，如圖的矩形ABCD中，點(diǎn)M在CD邊上，連AM，BM，∠AMB=90°，則點(diǎn)M為直角點(diǎn)．
（1）若矩形ABCD一邊CD上的直角點(diǎn)M為中點(diǎn)，問該矩形的鄰邊具有何種數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（2）若點(diǎn)M，N分別為矩形ABCD邊CD，AB上的直角點(diǎn)，且AB=4，BC=，求MN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件即可證明三角形ADM是等腰直角三角形，則該矩形的長是寬的2倍；
（2）作MH⊥AB于點(diǎn)H，能夠據(jù)一已知條件求得構(gòu)造的直角三角形的兩條直角邊．
解答：解：（1）AB=2AD．
理由如下：
∵直角點(diǎn)M為CD邊的中點(diǎn)，
∴MD=MC，
又∵AD=BC，∠D=∠C=90°
∴△ADM≌△BCM，
∴∠AMD=∠BMC，
∵∠AMB=90°，
∴∠AMD+∠BMC=90°，
∴∠AMD=∠BMC=45°
∴∠DAM=∠AMD=45°，
∴AD=DM，
∴AB=2AD．

（2）如圖2所示，作MH⊥AB于點(diǎn)H，連接MN
∵∠AMB=90°，
∴∠AMD+∠BMC=90°，
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠DAM=∠BMC
又∵∠D=∠C，
∴△ADM∽△MCB，
∴，即，
∴MC=1或3．
∵點(diǎn)M，N分別為矩形ABCD邊CD，AB上的直角點(diǎn)，
∴AN=MC，
∴當(dāng)MC=1時(shí)，AN=1，NH=2，
∴MN²=MH²+NH²=（）²+2²=7，
∴MN=．
當(dāng)MC=3時(shí)，此時(shí)點(diǎn)N與點(diǎn)H重合，即MN=BC=，
綜上，MN=或．
點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用勾股定理、全等三角形的判定、相似三角形的判定進(jìn)行計(jì)算．