【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點,并經(jīng)過B點,已知A點坐標是(2,0),B點坐標是(8,6).

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)求函數(shù)圖象的頂點坐標及D點的坐標;

(3)二次函數(shù)的對稱軸上是否存在一點C,使得CBD的周長最。咳鬋點存在,求出C點的坐標;若C點不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2﹣4x+6;(2)D點的坐標為(6,0);(3)存在.當點C的坐標為(4,2)時,△CBD的周長最小

【解析】試題分析:(1)只需運用待定系數(shù)法就可求出二次函數(shù)的解析式;

2)只需運用配方法就可求出拋物線的頂點坐標,只需令y=0就可求出點D的坐標;

3)連接CA,由于BD是定值,使得△CBD的周長最小,只需CD+CB最小,根據(jù)拋物線是軸對稱圖形可得CA=CD,只需CA+CB最小,根據(jù)兩點之間,線段最短可得:當點A、C、B三點共線時,CA+CB最小,只需用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,就可得到點C的坐標.

試題解析:

1)把A2,0),B8,6)代入,得

解得:

二次函數(shù)的解析式為;

2)由,得

二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(4,﹣2).

y=0,得,

解得:x1=2,x2=6,

∴D點的坐標為(60);

3)二次函數(shù)的對稱軸上存在一點C,使得的周長最小.

連接CA,如圖,

C在二次函數(shù)的對稱軸x=4上,

∴xC=4,CA=CD

的周長=CD+CB+BD=CA+CB+BD,

根據(jù)兩點之間,線段最短,可得

當點AC、B三點共線時,CA+CB最小,

此時,由于BD是定值,因此的周長最。

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n

A2,0)、B8,6)代入y=mx+n,得

解得:

直線AB的解析式為y=x﹣2

x=4時,y=4﹣2=2,

當二次函數(shù)的對稱軸上點C的坐標為(4,2)時,的周長最。

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(一)

(二)

以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.

還可以用以下方法化簡:

(三)

請用不同的方法化簡.

1)參照(二)式得______________________________________________;

2)參照(三)式得_________________________________________。

3)化簡:

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