Question

如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點A的坐標是（0，8），AB平行于x軸，B，C，D三點在拋物線y=

9

16

x²上，DC交y軸于N點，一條直線OE與AB交于E點，與DC交于F點，如果E點的橫坐標為a，四邊形ADFE的面積為

75

2

．
（1）求出B，D兩點的坐標；
（2）求a的值；
（3）作△ADN的內(nèi)切圓⊙P，切點分別為M，K，H，求tan∠PFM的值．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的解析式，而B的縱坐標就是A點的縱坐標，可代入拋物線的解析式中即可求出B點的坐標，也就知道了AB的長，由于四邊形ABCD是平行四邊形，因此AB=CD，根據(jù)拋物線的對稱性，即可求出D點的橫坐標．然后代入拋物線的解析式中即可得出D點的坐標；
（2）先根據(jù)E點坐標表示出直線上OE的解析式，進而求出F點的坐標．在梯形ADFE中，上下底的長就可求出，高是AN即A、D兩點縱坐標的差，然后可根據(jù)梯形ADFE的面積求出a的值．
（3）求∠PFM的正切值，就要構(gòu)建直角三角形，連接PM，PK，直角三角形PMN中，已知了FN的長（根據(jù)F點坐標可求得），而MN=PM=r，因此求出圓P的半徑是關(guān)鍵．△ADN中，根據(jù)A、D兩點的坐標即可求出AD、AN、DN的長．由于圓P內(nèi)切于△ADN，因此可根據(jù)三角形內(nèi)切圓半徑公式求出圓P的半徑．進而可在直角三角形PMF中，根據(jù)tan∠PFM=r：（r+FN）求出∠PFM的正切值．

解答：解：（1）∵點A的坐標為（0，8），且AB∥x軸
∴B點縱坐標為8，且B點在拋物線y=

9

16

x2上
∴點B的坐標為（

8 2

3

，8）
∴AB=

8 2

3

又∵點D、C在拋物線y=

9

16

x2上，且CD∥x軸
∴D、C兩點關(guān)于y軸對稱
∴DN=CN=

4 2

3

∴D點的坐標為（-

4 2

3

，2）．

（2）設(shè)E點的坐標為（a，8），則直線OE的解析式為：y=

8

a

x
∴F點的坐標為（

a

4

，2 ）
由AE=a，DF=

4 2

3

+

a

4

且S_{四邊形ADFE}=

75

2

，
解得a=10-

4 2

5

．

（3）連接PH，PM，PK                            
∵⊙P是△AND的內(nèi)切圓，H，M，K為切點
∴PH⊥AD PM⊥DN PK⊥AN
在Rt△AND中，由DN=

4 2

3

，AN=6，由勾股定理，得
AD=

2 89

3

設(shè)⊙P的半徑為r，則
S_△AND=

1

2

（

4 2

3

+

2 89

3

+6）r=

1

2

×6×

4 2

3

，r=

12 2

2 2 + 89 +9

在正方形PMNK中，PM=MN=

12 2

2 2 + 89 +9

∴MF=MN+NF=

12 2

2 2 + 89 +9

+

5

2

-

2

5

在Rt△PMF中，tan∠PFM=

PM

MF

=

12 2 2 2 + 89 +9

12 2 2 2 + 89 +9 + 5 2 - 2 5

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了三角形的內(nèi)切圓，解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，綜合性較強，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．