Question

如圖，正方形ABCD的外接圓為⊙O，點(diǎn)P在劣弧CD上（不與點(diǎn)C重合）．
（1）求∠BPC的度數(shù)；
（2）若⊙O的半徑為4，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OB，OC，由正方形的性質(zhì)知，△BOC是等腰直角三角形，根據(jù)∠BOC=90°，由圓周角定理可以求出；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知OE=BE，由垂徑定理可知BC=2BE，故可得出結(jié)論．

解答：解：（1）連接OB，OC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠P=

1

2

∠BOC=45°；

（2）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE²+BE²=OB²，
∴BE=

OB2 2

=

42 2

=2

2

，
∴BC=2BE=4

2

，即正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理、垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．