已知:矩形ABCDADAB,O是對角線的交點,過O任作一直線分別交BCAD于點M、N(如圖①).

(1)求證:BM=DN;

(2)如圖②,四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的,連接CN,求證:四邊形AMCN是菱形;

(3)在(2)的條件下,若△CDN的面積與△CMN的面積比為13,求的值.

 


(1)證法一:連接BD,則BD過點O

ADBC,    ∴∠OBM=∠ODN

OB=OD, ∠BOM=∠DON,    

∴△OBM≌△ODN.          

BM=DN.                  

證法二:∵矩形ABCD是中心對稱圖形,點O是對稱中心.

B、DM、N關(guān)于O點中心對稱.

     ∴BM=DN. 

(2)證法一:∵矩形ABCD,

ADBC,AD=BC.          

 又BM=DN,    ∴AN=CM.   

        ∴四邊形AMCN是平行四邊形. 

由翻折得,AM=CM,            

∴四邊形AMCN是菱形.       

證法二:由翻折得,AN=NC,AM=MC,

AMN=∠CMN

ADBC, ∴∠ANM=∠CMN

∴∠AMN=∠ANM    ∴AM=AN

AM=MC=CN=NA       

∴四邊形AMCN是菱形.     

(3)解法一:∵,,

=13,

DNCM=13     

設(shè)DN=k,則CN=CM=3k

NNGMC于點G,

CG=DN=k,MG=CM-CG=2k. 

NG=

MN=

.                

法二:∵,,

=13,   ∴DNCM=13   

連接AC,則AC過點O,且ACMN

設(shè)DN=k,則CN=AN=CM=3k,AD=4 k

CD=         

OC=

MN=

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1
3
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(2)在(1)中,直線l把矩形分成兩部分的面積比為2:5,求a的值;
(3)若AM=
1
4
AC,且直線l經(jīng)過點B(如圖2),求AD的長;
(4)如果直線l分別與邊AD,AB相交于點E,F(xiàn),AM=
1
4
AC,設(shè)AD的長為x,△AEF的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出x的取值范圍(求x的取值范圍可不寫過程).精英家教網(wǎng)

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12
.求:
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