Question

如圖，AB為⊙O的直徑，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求證：AE平分∠BAC；
（2）若AD=2，EC=，∠BAC=60°，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OE，
∴OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE．
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ．
∵AC⊥PQ，
∴OE∥AC．
∴∠OEA=∠EAC，
∴∠OAE=∠EAC，
∴AE平分∠BAC．

（2）解：連接BE，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°．
∵∠BAC=60°，
∴∠OAE=∠EAC=30°．
∴AB=2BE．
∵AC⊥PQ，
∴∠ACE=90°，
∴AE=2CE．
∵CE=，
∴AE=2．
設BE=x，則AB=2x，由勾股定理，得
x²+12=4x²，
解得：x=2．
∴AB=4，
∴⊙O的半徑為2．
分析：（1）連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)就可以得出OE⊥PQ，就可以得出OE∥AC，可以得出∠BAE=∠CAE而得出結(jié)論；
（2）連接BE，由AE平分∠BAC就可以得出∠BAE=∠CAE=30°，就可以求出AE=2，在Rt△ABE中由勾股定理可以求出AB的值，從而求出結(jié)論．
點評：本題考查了角平分線的判定及性質(zhì)的運用，切線的性質(zhì)的運用，30度角的直角三角形的性質(zhì)的運用，平行線的判定及性質(zhì)的運用，解答時合理運用切線的性質(zhì)是關鍵．