Question

如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是上的一個動點（不與點A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．
（1）當(dāng)BC=1時，求線段OD的長；
（2）在△DOE中是否存在長度不變的邊？若存在，請指出并求其長度；如果不存在，請說明理由；
（3）求：S_△ODE-S_△CDE的值．

Answer 1

解：（1）∵OD⊥BC，
∴BD=BC=
而BC=2，
在RtOBD中，OD==；

（2）在△DOE中DE的長度不變．
連結(jié)AB，如圖，
∵∠AOB=90°，OA=OB=2，
∴AB=OA=2，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴DB=DC，EA=EC，即點D和E分別是線段BC和AC的中點，
∴DE為△CBA的中位線，
∴DE=AB=；

（3）連結(jié)OC，
∵DE∥BA，
∴△CDE∽△CBA，
∴S_△CDE：S_△CBA=（CD：CB）²=1：4，即S_△CBA=4S_△CDE，
∵S_△ODB=S_△ODC，S_△OAE=S_△OEC，
∴S_△ODE=S_{四邊形ODCE}-S_△CDE，
=S_△ODC+S_△OEC-S_△CDE
=S_△OBC+S_△OAC-S_△CDE
=S_{四邊形ODCE}-S_△CDE
=S_△OAB+S_△CAB-S_△CDE
=××2×2+×4S_△CDE-S_△CDE
=1+S_△CDE，
∴S_△ODE-S_△CDE=1．
分析：（1）根據(jù)垂徑定理由OD⊥BC得BD=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的長；
（2）連接AB，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出AB=2，再根據(jù)垂徑定理得到OD⊥BC，OE⊥AC，則DE為△CBA的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)即可得到DE=；
（3）連結(jié)OC，由DE∥BA可判斷△CDE∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得S_△CDE：S_△CBA=（CD：CB）²=1：4，即S_△CBA=4S_△CDE，再利用S_△ODB=S_△ODC，S_△OAE=S_△OEC和S_△ODE=S_{四邊形ODCE}-S_△CDE進(jìn)行變形可得到S_△ODE-S_△CDE的值．
點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理；學(xué)會運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計算；同時理解等腰直角三角形的性質(zhì)．