(2005•日照)如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠C=60°,AD=3cm,BC=9cm.⊙O1的圓心O1從點(diǎn)A開(kāi)始沿折線A-D-C以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),⊙O2的圓心O2從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA邊以cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),⊙O1半徑為2cm,⊙O2的半徑為4cm,若O1、O2分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t.
(1)請(qǐng)求出⊙O2與腰CD相切時(shí)t的值;
(2)在0s<t≤3s范圍內(nèi),當(dāng)t為何值時(shí),⊙O1與⊙O2外切?

【答案】分析:(1)先設(shè)⊙O2運(yùn)動(dòng)到E與CD相切,且切點(diǎn)是F;連接EF,并過(guò)E作EG∥BC,交CD于G,再過(guò)G作GH⊥BC于H,那么就得到直角三角形EFG和矩形GEBH.
要求⊙O2與CD相切的時(shí)間,可以先求出⊙O2從B到E所走的路程BE,即GH的長(zhǎng),再除以運(yùn)動(dòng)速度即可.
那么求GH的值就是關(guān)鍵,由∠C=60°,可以知道∠CGH=30°,那么∠FGE=60°.
在Rt△EFG中,可以利用勾股定理求出EG的值,那么CH=BC-BH=BC-EG.在Rt△CGH中,利用60°的角的正切值可求出GH的值,此問(wèn)就可解了.
(2)因?yàn)閟<t<3s,所以O(shè)1一定在AD上,連接O1O2
利用勾股定理可得到關(guān)于t的一元二次方程,求解即可,根據(jù)要求,可選擇t的值.
解答:解:(1)如圖所示,設(shè)點(diǎn)O2運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處時(shí),⊙O2與腰CD相切.
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DC,垂足為F,則EF=4cm.
方法一:作EG∥BC,交DC于G,作GH⊥BC,垂足為H.
由直角三角形GEF中,∠EGF+∠GEF=90°,
又∠EGF+∠CGH=90°,
∴∠GEF=∠CGH=30°,
設(shè)FG=xcm,則EG=2xcm,又EF=4cm,
根據(jù)勾股定理得:x2+42=(2x)2,解得x=,
則HB=GE=cm,又在直角三角形CHG中,∠C=60°,
∴CH=(9-)cm,
則EB=GH=CHtan60°=cm.
所以,t=()秒.
方法二:延長(zhǎng)EA、FD交于點(diǎn)P.通過(guò)相似三角形,也可求出EB長(zhǎng).
方法三:連接ED、EC,根據(jù)面積關(guān)系,列出含有t的方程,直接求t.

(2)由于0s<t≤3s,所以,點(diǎn)O1在邊AD上.
如圖連接O1O2,則O1O2=6cm.
由勾股定理得,
t2+(6-t)2=62,
即t2-9t+18=0.
解得:t1=3,t2=6(不合題意,舍去).
所以,經(jīng)過(guò)3秒,⊙O1與⊙O2外切.
點(diǎn)評(píng):本題利用了切線的性質(zhì),勾股定理,正切值的計(jì)算,以及公式s=vt,矩形的判定和性質(zhì),兩圓外切的性質(zhì).
注意用含t的代數(shù)式來(lái)表示線段的長(zhǎng).
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(1)求點(diǎn)P、E的坐標(biāo);
(2)如果拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)P、E,求拋物線的解析式.

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